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関数drawdfは
一階常微分方程式(ODE)や
二連立自律一階ODE系の方向場を描画します。
これは追加パッケージなので、利用するには、最初に
load("drawdf")でロードしなければいけません。
Drawdfはdrawパッケージ上に構築されています。これはGnuplot 4.2を要求します。
単一のODEの方向場をプロットするには、ODEを以下の形式で書かなければいけません:
dy
-- = F(x,y)
dx
そして関数Fをdrawdfの引数に与えなければいけません。
もし独立変数と従属変数が、上の式のようにxとyでないなら、
drawdfコマンドへの引数として与えられるリストの中に明示的に
それら2つの変数を指名しなければいけません。
(例を見てください。)
2つの自励ODEの組の方向場をプロットするには、 それらを以下の形式で書かなければいけません。
dx dy
-- = G(x,y) -- = F(x,y)
dt dt
そしてdrawdfの引数は2つの関数GとFを
その順に持つリストでなければいけません;
すなわち、リストの最初の式は水平軸上に表された変数の時間導関数であり、
二番目の式は垂直軸上に表された変数の時間導関数です。
それら2つの変数はxとyである必要はありませんが、
もしそうでないなら、
drawdfに与えられる二番目の引数は
2つの変数を、最初のものが水平軸上のものを、その後垂直軸上のものを指定する別のリストでなければいけません。
もしただ1つのODEが与えられるなら、
drawdfは、
暗にx=t,G(x,y)=1と認め、
非自励方程式を2つの自励方程式系に変換します。
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[u,v], ...options and objects...) ¶[u,umin,umax], [v,vmin,vmax], ...options and objects...) ¶[dxdt,dydt], ...options and objects...) ¶[dudt,dvdt], [u,v], ...options and objects...) ¶[dudt,dvdt], [u,umin,umax], [v,vmin,vmax], ...options and objects...) ¶関数drawdfは、
オプションの解曲線やdrawパッケージを使う他のグラフィックスと一緒に、
2D方向場を描きます。
最初の引数は導関数を指定し、式か2つの式のリストでなければいけません。 dydx, dxdt, dydtはxとyに依存する式です。 dvdu, dudt, dvdtはuとvに依存する式です。
もし独立変数と従属変数がxとyでないなら、
それらの名前を、導関数に続いてすぐに、
2つの名前のリスト[u,v]のとしてか、
形式[u,umin,umax]と
[v,vmin,vmax]の2つのリストとしてのいずれか
のように,指定しなければいけません。
残りの引数はグラフィックオプションかグラフィックオブジェクト,
任意の深さで入れ子になったグラフィックオプションやオブジェクトを含むリストです。
drawdfがサポートするグラフィックオプションとオブジェクトの集合は
drawパッケージのdraw2dとgr2dがサポートするもの上位集合です。
引数は順次解釈されます: グラフィックオプションは続くグラフィックオブジェクトすべてに影響します。 更に、グラフィックオブジェクトは指定された順にキャンバス上に描かれ、 先に描かれたグラフィックスを見えなくするかもしれません。 いくつかのグラフィックオプションはシーンのグローバルな外観に影響します。
drawdfがサポートする追加のグラフィックオブジェクトは以下を含みます:
solns_at, points_at, saddles_at, soln_at,
point_at, saddle_at.
drawdfがサポートする追加のグラフィックオプションは以下を含みます:
field_degree, soln_arrows, field_arrows,
field_grid, field_color, show_field,
tstep, nsteps, duration, direction,
field_tstep, field_nsteps, field_duration.
drawパッケージから受け継がれた、共通に使われるグラフィックオブジェクトは
以下を含みます: explicit, implicit, parametric,
polygon, points, vector, label,
draw2dとgr2dがサポートする他のすべてのもの。
drawパッケージから受け継がれた、共通に使われるグラフィックオプションは
以下を含みます:
points_joined, color,
point_type, point_size, line_width,
line_type, key, title, xlabel,
ylabel, user_preamble, terminal,
dimensions, file_name,
draw2dとgr2dがサポートする他のすべてのもの。
draw2dも参照してください。
wxMaximaやImaximaのユーザーはwxdrawdfを代わりに使うかもしれません。
それは、
グラフィックスがwxdrawを使うノートブック内で描かれることを除いて、
drawdfと同一です。
この関数を利用するには、最初にload("drawdf")を書いてください。
例:
(%i1) load("drawdf")$
(%i2) drawdf(exp(-x)+y)$ /* default vars: x,y */
(%i3) drawdf(exp(-t)+y, [t,y])$ /* default range: [-10,10] */
(%i4) drawdf([y,-9*sin(x)-y/5], [x,1,5], [y,-2,2])$
下位互換のために、drawdfはplotdfがサポートしたパラメータのほとんどを
受け付けます。
(%i5) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,y], [t,-5,10], [y,-4,9],
[trajectory_at,0,0])$
soln_atとsolns_atは、
少し強化された4次のRunge Kutta数値積分器を使って、
指定された点を通る解曲線を描きます。
(%i6) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,-5,10], [y,-4,9],
solns_at([0,0.1],[0,-0.1]),
color=blue, soln_at(0,0))$
field_degree=2とすると、
それぞれのグリッド点での1次と2次の導関数に基づいて、
場が二次のスプラインで構成されます。
field_grid=[COLS,ROWS]は
グリッドの列と行の数を指定します。
(%i7) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,-5,10], [y,-4,9],
field_degree=2, field_grid=[20,15],
solns_at([0,0.1],[0,-0.1]),
color=blue, soln_at(0,0))$
soln_arrows=trueは
解曲線に矢印を加え、
(デフォルトでは)方向場からそれらを削除します。
また、解曲線を強調するようにデフォルトの色を変えます。
(%i8) drawdf(2*cos(t)-1+y, [t,-5,10], [y,-4,9],
soln_arrows=true,
solns_at([0,0.1],[0,-0.1],[0,0]))$
duration=40は数値積分の時間間隔を指定します(デフォルトは10))。
もし解がプロット領域から遠くに移動し過ぎたり、
導関数が複素数や無限大になったりしても、積分は自動的に停止します。
ここでも、 field_degree=2を指定して二次スプラインをプロットします。
以下の方程式は捕食者-被食者系をモデル化します。
(%i9) drawdf([x*(1-x-y), y*(3/4-y-x/2)], [x,0,1.1], [y,0,1],
field_degree=2, duration=40,
soln_arrows=true, point_at(1/2,1/2),
solns_at([0.1,0.2], [0.2,0.1], [1,0.8], [0.8,1],
[0.1,0.1], [0.6,0.05], [0.05,0.4],
[1,0.01], [0.01,0.75]))$
field_degree='solnsとすると、
場は、4次のRunge Kuttaで計算された多くの小さな解曲線で構成され、
この場合、より良い結果をもたらします。
(%i10) drawdf([x*(1-x-y), y*(3/4-y-x/2)], [x,0,1.1], [y,0,1],
field_degree='solns, duration=40,
soln_arrows=true, point_at(1/2,1/2),
solns_at([0.1,0.2], [0.2,0.1], [1,0.8],
[0.8,1], [0.1,0.1], [0.6,0.05],
[0.05,0.4], [1,0.01], [0.01,0.75]))$
saddles_atは
自動的にそれぞれの鞍部で方程式を線形化しようとし、
セパラトリクスを含む、それぞれの固有ベクトルに対応した数値解をプロットしようとします。
tstep=0.05は
数値積分器の最大時間ステップを指定します(デフォルトは0.1)。
xとyのステップを小さく保つために、小さ目の時間ステップが時々使われます。
以下の方程式は減衰振り子をモデル化します。
(%i11) drawdf([y,-9*sin(x)-y/5], tstep=0.05,
soln_arrows=true, point_size=0.5,
points_at([0,0], [2*%pi,0], [-2*%pi,0]),
field_degree='solns,
saddles_at([%pi,0], [-%pi,0]))$
show_field=falseは場を完全に抑制します。
(%i12) drawdf([y,-9*sin(x)-y/5], tstep=0.05,
show_field=false, soln_arrows=true,
point_size=0.5,
points_at([0,0], [2*%pi,0], [-2*%pi,0]),
saddles_at([3*%pi,0], [-3*%pi,0],
[%pi,0], [-%pi,0]))$
drawdfは、認識しないパラメータすべてをdraw2dやgr2dに渡します。
なので、drawパッケージのフルパワーをdrawdfと組み合わせられます。
(%i13) drawdf(x^2+y^2, [x,-2,2], [y,-2,2], field_color=gray,
key="soln 1", color=black, soln_at(0,0),
key="soln 2", color=red, soln_at(0,1),
key="isocline", color=green, line_width=2,
nticks=100, parametric(cos(t),sin(t),t,0,2*%pi))$
drawdfはグラフィクオプションやオブジェクトの入れ子のリストを受け付けます。
なので、makelistやグラフィックスを生成する他の関数コールの便利な使用が可能です。
(%i14) colors : ['red,'blue,'purple,'orange,'green]$
(%i15) drawdf([x-x*y/2, (x*y - 3*y)/4],
[x,2.5,3.5], [y,1.5,2.5],
field_color = gray,
makelist([ key = concat("soln",k),
color = colors[k],
soln_at(3, 2 + k/20) ],
k,1,5))$