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演算子.は、非可換乗算とスカラー積を表します。
オペランドが、1列行列または1行行列aとbの時、
式a.bは、sum (a[i]*b[i], i, 1, length(a))と同値です。
もしaとbが複素数でないなら、これはスカラー積であり、
aとbの内積すなわちドット積もコールされます。
aとbが複素数の時、スカラー積は
conjugate(a).bとして定義されます;
eigenパッケージのinnerproductは、複素スカラー積を供給します。
オペランドがもっと一般的な行列の時、
積は、aとbの行列積です。
bの行数は、aの列数と等しくなければいけなく、
結果は、aの行数と等しい行数と
bの列数と等しい列数を持ちます。
.を算術演算子として
浮動小数点数の小数点と区別するために、
どちらかの側にスペースを残す必要があるかもしれません。
例えば、5.e3は5000.0ですが、5 . e3は5掛けるe3です。
.を含む式の整理を支配する
いくつかのフラグがあります。
すなわち、dot0nscsimp, dot0simp, dot1simp, dotassoc,
dotconstrules, dotdistrib, dotexptsimp, dotident,
dotscrules。
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vectは、ベクトル解析のための関数のパッケージです。
load ("vect")は、このパッケージをロードし、
demo ("vect")は、デモンストレーションを表示します。
ベクトル解析パッケージは、 グラディエント、ダイバージェンス、カール、ラプラシアン演算子と一緒に、 ドット積やクロス積を含むシンボリックな式を結合したり整理したりすることができます。 これらの演算子の和や積上の分配は、 任意の特定の直交座標系の成分への展開を含む、様々な他の展開と同様に、 いくつかのフラグで決定されます。 場のスカラーポテンシャルやベクトルポテンシャルを演繹するための関数もあります。
The vectパッケージは以下の関数を含みます:
vectorsimp, scalefactors,
express, potential, vectorpotential.
デフォルトでは、vectパッケージはドット演算子.を可換演算子とは宣言しません。
可換ドット演算子.を得るには、コマンドdeclare(".", commutative)を実行しなければいけません。
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パッケージeigenは、
固有値や固有ベクトルのシンボリックな計算に充てられた
いくつかの関数を含みます。
もしeigenvaluesまたはeigenvectorsの１つが呼び出されたなら、
Maximaは、パッケージを自動的にロードします。
パッケージはload ("eigen")として陽にロードすることもできます。
demo ("eigen")は、このパッケージの能力のデモンストレーションを表示します。
batch ("eigen")は、
連続する計算の間のユーザープロンプトなしに、
同じデモンストレーションを実行します。
eigenパッケージの関数は、
innerproduct, unitvector, columnvector,
gramschmidt, eigenvalues, eigenvectors, uniteigenvectors, similaritytransformです。
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線形方程式系eqn_1, …, eqn_mの 変数x_1, …, x_nに関する拡大係数行列を返します。 これは、 それぞれの方程式の定数項(x_1, …, x_nに依存しないそれらの項) に関して隣接した列を持つ係数行列です。
(%i1) m: [2*x - (a - 1)*y = 5*b, c + b*y + a*x = 0]$
(%i2) augcoefmatrix (m, [x, y]);
[ 2 1 - a - 5 b ]
(%o2) [ ]
[ a b c ]
要素a[i,j] = 1/(x_i+y_i)を持つ、
n掛けるmのCauchy行列を返します。
cauchy_matrixの第二引数はオプションです。
この場合、Cauchy行列の要素はa[i,j] = 1/(x_i+x_j)です。
注意: 文献によると、Cauchy行列は2つの形式で定義されたものが見られます。 2つ目の定義はa[i,j] = 1/(x_i-y_i)です。
例:
(%i1) cauchy_matrix([x1,x2],[y1,y2]);
[ 1 1 ]
[ ------- ------- ]
[ y1 + x1 y2 + x1 ]
(%o1) [ ]
[ 1 1 ]
[ ------- ------- ]
[ y1 + x2 y2 + x2 ]
(%i2) cauchy_matrix([x1,x2]);
[ 1 1 ]
[ ---- ------- ]
[ 2 x1 x2 + x1 ]
(%o2) [ ]
[ 1 1 ]
[ ------- ---- ]
[ x2 + x1 2 x2 ]
行列Mの変数xに関する特性多項式を返します。
すなわち、
determinant (M - diagmatrix (length (M), x))です。
(%i1) a: matrix ([3, 1], [2, 4]);
[ 3 1 ]
(%o1) [ ]
[ 2 4 ]
(%i2) expand (charpoly (a, lambda));
2
(%o2) lambda - 7 lambda + 10
(%i3) (programmode: true, solve (%));
(%o3) [lambda = 5, lambda = 2]
(%i4) matrix ([x1], [x2]);
[ x1 ]
(%o4) [ ]
[ x2 ]
(%i5) ev (a . % - lambda*%, %th(2)[1]);
[ x2 - 2 x1 ]
(%o5) [ ]
[ 2 x1 - x2 ]
(%i6) %[1, 1] = 0;
(%o6) x2 - 2 x1 = 0
(%i7) x2^2 + x1^2 = 1;
2 2
(%o7) x2 + x1 = 1
(%i8) solve ([%th(2), %], [x1, x2]);
1 2
(%o8) [[x1 = - -------, x2 = - -------],
sqrt(5) sqrt(5)
1 2
[x1 = -------, x2 = -------]]
sqrt(5) sqrt(5)
線形方程式系eqn_1, …, eqn_mの 変数x_1, …, x_nに関する係数行列を返します。
(%i1) coefmatrix([2*x-(a-1)*y+5*b = 0, b*y+a*x = 3], [x,y]);
[ 2 1 - a ]
(%o1) [ ]
[ a b ]
リストLの要素を含む１列length (L)行の行列を返します。
covectは、columnvectorと同義です。
load ("eigen")はこの関数をロードします。
もしこのパッケージの関数の出力の一部を行列計算で使いたいなら、これは役に立ちます。
例:
(%i1) load ("eigen")$
Warning - you are redefining the Macsyma function eigenvalues
Warning - you are redefining the Macsyma function eigenvectors
(%i2) columnvector ([aa, bb, cc, dd]);
[ aa ]
[ ]
[ bb ]
(%o2) [ ]
[ cc ]
[ ]
[ dd ]
行列Mのコピーを返します。 これは、Mを要素毎にコピーすることは別にして、コピーを作る唯一の方法です。
m2: m1のように、１つの行列のもう１つへの割り当てはm1をコピーしない
ことに注意してください。
An assignment
割り当てm2 [i,j]: xまたはsetelmx (x, i, j, m2は、
m1 [i,j]も変更します。
Creating a copy with
copymatrixを使ってコピーを生成し、割り当てを使うことは、
別個の変更されたコピーを生成します。
Mの行列式をガウスの消去法と似た方法で計算します。
結果の形式は、スイッチratmxの設定に依ります。
スイッチratmxとsparseがともにtrueの時コールされる
粗な行列式を計算するための特殊なルーチンがあります。
デフォルト値: false
detoutがtrueの時、
逆行列が計算された行列の行列式は、逆行列から因子として外に出されます。
このスイッチが効果を持つには、
doallmxopsとdoscmxopsは、falseでなければいけません。
(それらの記述を参照してください。)
evは他の２つを正しく設定するので、
代わりに、このスイッチをevに与えるという方法もあります。
例:
(%i1) m: matrix ([a, b], [c, d]);
[ a b ]
(%o1) [ ]
[ c d ]
(%i2) detout: true$
(%i3) doallmxops: false$
(%i4) doscmxops: false$
(%i5) invert (m);
[ d - b ]
[ ]
[ - c a ]
(%o5) ------------
a d - b c
対角要素すべてがxに等しい、
サイズがn掛けるnの対角線行列を返します。
diagmatrix (n, 1)は、
(ident (n)と同じように)単位行列を返します。
nは、整数に評価されなければいけなく、そうでなければ、
diagmatrixはエラーメッセージを出力します。
xは、別の行列を含む、任意の種類の式を取り得ます もしxが行列なら、それはコピーされません; 対角要素すべては、同じインスタンスxを参照します。
デフォルト値: true
doallmxopsがtrueの時、
行列に関係する演算すべてが実行されます。
falseの時、
then the setting of the
個々のdotスイッチの設定が、どの演算を実行するか決めます。
デフォルト値: true
domxexptがtrueの時、
行列の指数関数, exp (M) ただしMは行列,
は、要素[i,jがexp (m[i,j])に等しい行列として解釈されます。
そうでなければ、exp (M)は、exp (ev(M)に評価されます。
domxexptは、
形式base^powerの式すべてに影響します。
ここで、baseはスカラーまたは定数と仮定された式、
powerは、リストまたは行列です。
例:
(%i1) m: matrix ([1, %i], [a+b, %pi]);
[ 1 %i ]
(%o1) [ ]
[ b + a %pi ]
(%i2) domxexpt: false$
(%i3) (1 - c)^m;
[ 1 %i ]
[ ]
[ b + a %pi ]
(%o3) (1 - c)
(%i4) domxexpt: true$
(%i5) (1 - c)^m;
[ %i ]
[ 1 - c (1 - c) ]
(%o5) [ ]
[ b + a %pi ]
[ (1 - c) (1 - c) ]
デフォルト値: true
domxmxopsがtrueの時、
行列-行列演算、行列-リスト演算すべてが実行されます
(しかし、スカラー-行列演算は実行されません);
もしこのスイッチがfalseなら、
演算は実行されません。
デフォルト値: []
ある変数に関する因数分解が起こらないよう、
dontfactorをその変数のリストに設定することができます。
(リストは初期には空です。)
標準有理式(CRE)形で仮定される変数順序に従って、
dontfactorリスト上のそれらよりも重要でない変数に関しても
因数分解は、
行われなくなります。
デフォルト値: false
doscmxplusがtrueの時、
スカラー-行列演算は、行列の結果をもたらします。
このスイッチは、doallmxopsの下に包括されません。
デフォルト値: true
dot0nscsimpがtrueの時、
ゼロと非スカラー項の非可換積は、可換積に整理されます。
デフォルト値: true
dot0simpがtrueの時、
ゼロとスカラー項の非可換積は、
可換積に整理されます。
デフォルト値: true
dot1simpがtrueの時、
１ともう１つの項の非可換積は、可換積に整理されます。
デフォルト値: true
dotassocがtrueの時、
式(A.B).CはA.(B.C)に整理されます。
デフォルト値: true
dotconstrulesがtrueの時、
定数ともう１つの項の非可換積は、可換積に整理されます。
このフラグをオンにすることは、事実上、
dot1simpはもちろん、dot0simp, dot0nscsimpもオンにします。
デフォルト値: false
dotdistribがtrueの時、
式A.(B + C)はA.B + A.Cに整理されます。
デフォルト値: true
dotexptsimpがtrueの時、
式A.AはA^^2に整理されます。
デフォルト値: 1
dotidentはX^^0が返す値です。
デフォルト値: false
dotscrulesがtrueの時、
式A.SCまたはSC.Aは、SC*Aに整理され、
A.(SC*B)はSC*(A.B)に整理されます。
ガウスの消去法で生成される、行列Mの階段形を返します。 階段形は、Mから初等行演算によって計算され、 それぞれの行の最初の非ゼロ要素が１で、 その要素の下の列要素がすべてゼロであるような行列です。
triangularizeもガウスの消去法を実行しますが、
それぞれの行の先頭の非ゼロ要素を規格化しません。
lu_factorとcholeskyは、他の、三角行列をもたらす関数です。
(%i1) M: matrix ([3, 7, aa, bb], [-1, 8, 5, 2], [9, 2, 11, 4]);
[ 3 7 aa bb ]
[ ]
(%o1) [ - 1 8 5 2 ]
[ ]
[ 9 2 11 4 ]
(%i2) echelon (M);
[ 1 - 8 - 5 - 2 ]
[ ]
[ 28 11 ]
[ 0 1 -- -- ]
(%o2) [ 37 37 ]
[ ]
[ 37 bb - 119 ]
[ 0 0 1 ----------- ]
[ 37 aa - 313 ]
行列Mの固有値を含む２つのリストのリストを返します。 戻り値の最初の部分リストは、行列の固有値のリストで、 二番目の部分リストは、対応する順序で固有値の重複度のリストです。
eivalsは、eigenvaluesと同義です。
eigenvaluesは、
行列の特性多項式の根を見つけるために、
関数solveをコールします。
時々、
solveは、多項式の根を見つけられないかもしれません;
その場合、このパッケージの
(innerproduct, unitvector, columnvector,
gramschmidtを除いた)いくつかの他の関数はうまく動かないでしょう。
いくつかの場合、solveが見つける固有値は、
複雑な式かもしれません。
(これは、
solveが
実数とわかっている固有値について
見てもすぐにはわからない実数式を返す時、起こることがあります。)
他のいくつかの関数を使って固有値を整理することが可能なことがあります。
パッケージeigen.macは、
eigenvaluesやeigenvectorsが参照された時、
自動的にロードされます。
もしeigen.macがまだロードされていないなら、
load ("eigen")はそれをロードします。
ロードした後は、パッケージの中の関数と変数すべてが利用可能です。
行列Mの固有ベクトルを計算します。 戻り値は、２つの要素のリストです。 最初のものは、Mの固有値のリストと固有値の重複度のリストです。 二番目のものは、固有ベクトルのリストのリストです。 固有値それぞれに対して固有ベクトルのリストが１つあります。 リストそれぞれの中には、固有ベクトルが１つの時も複数のときもあります。
eivectsは、eigenvectorsと同義です。
パッケージeigen.macは、
eigenvaluesやeigenvectorsが参照された時、
自動的にロードされます。
もしeigen.macがまだロードされていないなら、
load ("eigen")はそれをロードします。
ロードした後は、パッケージの中の関数と変数すべてが利用可能です。
この関数に影響するフラグは以下の通りです:
nondiagonalizableは、
eigenvectorsが戻った後、行列が対角化不可能か可能かに依って
trueかfalseに設定されます。
hermitianmatrixがtrueの時、
エルミート行列の縮退した固有ベクトルが、グラム-シュミットアルゴリズムを使って直交化されるようにします。
knowneigvalsがtrueの時、
causes the
eigenパッケージが、
行列の固有値がユーザーに知られていて、グローバル名listeigvalsの下記憶されていることを仮定するようにします。
listeigvalsは、
出力eigenvaluesに似たリストに設定されなければいけません。
ここで、関数algsysが固有ベクトルについて解くために使われます。
もし固有値がごちゃごちゃしているなら、
algsysは、時々、解を見つけられないかもしれません。
いくつかの場合、
最初にeigenvaluesコマンドを使って固有値を見つけ、
それらをもっと簡潔な何かに換算するために他の関数を使うことによって、
固有値を整理することが可能かもしれません。
整理に続いて、
trueに設定されたknowneigvalsフラグとともに
再びeigenvectorsをコールすることができます。
eigenvaluesも参照してください。
例:
固有値１つにただ１つの固有ベクトルを持つ行列。
(%i1) M1 : matrix ([11, -1], [1, 7]);
[ 11 - 1 ]
(%o1) [ ]
[ 1 7 ]
(%i2) [vals, vecs] : eigenvectors (M1);
(%o2) [[[9 - sqrt(3), sqrt(3) + 9], [1, 1]],
[[[1, sqrt(3) + 2]], [[1, 2 - sqrt(3)]]]]
(%i3) for i thru length (vals[1]) do disp (val[i] = vals[1][i],
mult[i] = vals[2][i], vec[i] = vecs[i]);
val = 9 - sqrt(3)
1
mult = 1
1
vec = [[1, sqrt(3) + 2]]
1
val = sqrt(3) + 9
2
mult = 1
2
vec = [[1, 2 - sqrt(3)]]
2
(%o3) done
１つの固有値(ここでは2)に２つの固有ベクトルを持つ行列。
(%i1) M1 : matrix ([0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 2, 0],
[0, 0, 0, 2]);
[ 0 1 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%o1) [ ]
[ 0 0 2 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 2 ]
(%i2) [vals, vecs] : eigenvectors (M1);
(%o2) [[[0, 2], [2, 2]], [[[1, 0, 0, 0]],
[[0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]]]
(%i3) for i thru length (vals[1]) do disp (val[i] = vals[1][i],
mult[i] = vals[2][i], vec[i] = vecs[i]);
val = 0
1
mult = 2
1
vec = [[1, 0, 0, 0]]
1
val = 2
2
mult = 2
2
vec = [[0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
2
(%o3) done
対話的に要素を読み、m行n列行列を返します。
もしnがmと等しいなら、
Maximaは、行列のタイプ(対角、対称、反対称、一般)の入力を促し、
それぞれの要素の入力を促します。
応答それぞれは、セミコロン;かドル記号$で終了させます。
もしnがmと等しくなければ、 Maximaは、それぞれの要素の入力を促します。
要素は、任意の式を取り得、また、その式は評価されます。
entermatrixは引数を評価します。
(%i1) n: 3$
(%i2) m: entermatrix (n, n)$
Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric
4. General
Answer 1, 2, 3 or 4 :
1$
Row 1 Column 1:
(a+b)^n$
Row 2 Column 2:
(a+b)^(n+1)$
Row 3 Column 3:
(a+b)^(n+2)$
Matrix entered.
(%i3) m;
[ 3 ]
[ (b + a) 0 0 ]
[ ]
(%o3) [ 4 ]
[ 0 (b + a) 0 ]
[ ]
[ 5 ]
[ 0 0 (b + a) ]
aから生成される行列を返します。
返される行列は、要素a[i_1,j_1]を
左上の要素として取り、
a[i_2,j_2]を
右下の要素として取ります。
ここで、aは、
(make_arrayではなくarrayが生成する)宣言配列か、
未宣言配列か、配列関数か、２つの引数を持つラムダ式のいずれかです。
(配列関数は、他の関数のように、:=やdefineで生成されますが、
引数は括弧の代わりにカギ括弧でくくられます。)
もしj_1が省略されたら、 それは、i_1と等しいと仮定されます。 もしj_1とi_1両方が省略されたら、 両方とも1と等しいと仮定されます。
もし配列の選択された要素i,jが未定義なら、
行列は、シンボル要素a[i,j]を含みます。
例:
(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1);
1
(%o1) h := ---------
i, j i + j - 1
(%i2) genmatrix (h, 3, 3);
[ 1 1 ]
[ 1 - - ]
[ 2 3 ]
[ ]
[ 1 1 1 ]
(%o2) [ - - - ]
[ 2 3 4 ]
[ ]
[ 1 1 1 ]
[ - - - ]
[ 3 4 5 ]
(%i3) array (a, fixnum, 2, 2);
(%o3) a
(%i4) a [1, 1] : %e;
(%o4) %e
(%i5) a [2, 2] : %pi;
(%o5) %pi
(%i6) genmatrix (a, 2, 2);
[ %e 0 ]
(%o6) [ ]
[ 0 %pi ]
(%i7) genmatrix (lambda ([i, j], j - i), 3, 3);
[ 0 1 2 ]
[ ]
(%o7) [ - 1 0 1 ]
[ ]
[ - 2 - 1 0 ]
(%i8) genmatrix (B, 2, 2);
[ B B ]
[ 1, 1 1, 2 ]
(%o8) [ ]
[ B B ]
[ 2, 1 2, 2 ]
xに対してグラム-シュミット直交化アルゴリズムを実行します。
xは、行列かリストのリストのいずれかです。
gramschmidtはxを変更しません。
もし引数にあれば、gramschmidtはFを内積として使います。
そうでなければ、内積は関数innerproductです。
もしxが行列なら、 アルゴリズムは xの行に適用されます。 もしxがリストのリストなら、 アルゴリズムは部分リストに適用されます。 部分リストは、要素数が同じでなければいけません。 いずれの場合も、 戻り値は、リストのリストです。 この部分リストは互いに直交し、xと同じ空間を埋めます。 もし、xの全範囲の次元が行や部分リストの数よりちいさいなら、 戻り値の部分リストのいくつかはゼロです。
中間結果を整理するために、アルゴリズムのそれぞれの段階でfactorがコールされます。
結果として、戻り値は、素因数分解された整数を含みます。
load("eigen")はこの関数をロードします。
例:
デフォルトの内積関数を使ったグラム-シュミットアルゴリズム。
(%i1) load ("eigen")$
(%i2) x: matrix ([1, 2, 3], [9, 18, 30], [12, 48, 60]);
[ 1 2 3 ]
[ ]
(%o2) [ 9 18 30 ]
[ ]
[ 12 48 60 ]
(%i3) y: gramschmidt (x);
2 2 4 3
3 3 3 5 2 3 2 3
(%o3) [[1, 2, 3], [- ---, - --, ---], [- ----, ----, 0]]
2 7 7 2 7 5 5
(%i4) map (innerproduct, [y[1], y[2], y[3]], [y[2], y[3], y[1]]);
(%o4) [0, 0, 0]
指定した内積関数を使ったグラム-シュミットアルゴリズム。
(%i1) load ("eigen")$
(%i2) ip (f, g) := integrate (f * g, u, a, b);
(%o2) ip(f, g) := integrate(f g, u, a, b)
(%i3) y : gramschmidt([1, sin(u), cos(u)], ip), a= -%pi/2, b=%pi/2;
%pi cos(u) - 2
(%o3) [1, sin(u), --------------]
%pi
(%i4) map (ip, [y[1], y[2], y[3]], [y[2], y[3], y[1]]),
a= -%pi/2, b=%pi/2;
(%o4) [0, 0, 0]
xとyの(スカラー積やドット積とも呼ばれる)内積を返します。
xとyは、等しい長さのリストか、ともに等しい長さの1列行列か1行行列です。
戻り値は、conjugate (x) . yです。
ここで、.は非可換乗算演算子です。
load ("eigen")はこの関数をロードします。
inprodは、innerproductと同義です。
行列Mの逆行列を返します。 逆行列は随伴法で計算されます。
これは、ユーザーが 要素が多倍長浮動小数点の行列や 要素が浮動小数点係数多項式の行列の逆行列を、 CRE形に変換することなしに計算することを可能にします。
余因子は、determinant関数で計算されるので、
もしratmxがfalseなら、
要素の表現を変えることなしに、逆行列が計算されます。
現在の実装は、高次の行列には非効率的です。
detoutがtrueの時、
行列式は、逆行列から係数として外に出されます。
逆行列の要素は自動的には展開されません。
もしMが多項式の要素を持つなら、
expand (invert (m)), detoutが、見た目がよりよい出力を生成することができます。
もし全体を行列式で割られたものが望ましいなら、
xthru (%)で達成することができます。
また、代わりに最初から以下のようにしても達成できます。
expand (adjoint (m)) / expand (determinant (m)) invert (m) := adjoint (m) / determinant (m)
行列の逆を計算する別の方法について^^ (非可換べき乗)を参照してください。
行列Mの要素を含むリストを返します。
例:
(%i1) list_matrix_entries(matrix([a,b],[c,d])); (%o1) [a, b, c, d]
デフォルト値: [
lmxcharは、行列の左区切り記号として表示される文字です。
rmxcharも参照してください。
例:
(%i1) lmxchar: "|"$
(%i2) matrix ([a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]);
| a b c ]
| ]
(%o2) | d e f ]
| ]
| g h i ]
行row_1, ..., row_nを持つ長方形行列を返します。 行それぞれは、式のリストです。 すべての行は同じ長さでなければいけません。
オペランドが、２つの行列、スカラーと行列、行列とスカラーのいずれかの時、
演算+ (足し算), - (引き算), * (掛け算),
/ (割り算)は要素毎に実行されます。
もしオペランドが、スカラーと行列、行列とスカラーのいずれかなら、
演算^ (べき乗, **と同値)は、要素毎に実行されますが、
もしオペランドが２つの行列なら要素毎には実行されません。
. (非可換乗算)を含むすべての演算は、通常、完全に実行されます。
行列の掛け算は、非可換乗算演算子.で表されます。
対応する非可換べき乗演算子は^^です。
行列 Aに関して、
A.A = A^^2であり、
もし存在するなら、A^^-1はAの逆行列です。
ドット演算や行列-リスト演算を含む式の整理を制御するためのスイッチがあります。
それらは、
doallmxops, domxexpt
domxmxops, doscmxops, doscmxplusです。
行列に関係する付加的なオプションがあります。
それらは以下の通りです:
lmxchar, rmxchar, ratmx, listarith, detout,
scalarmatrix,
sparse
行列を引数として取ったり、行列を戻り値としてもたらしたりするたくさんの関数があります。
eigenvalues, eigenvectors,
determinant,
charpoly, genmatrix, addcol, addrow,
copymatrix, transpose, echelon,
rankを参照してください。
例:
(%i1) x: matrix ([17, 3], [-8, 11]);
[ 17 3 ]
(%o1) [ ]
[ - 8 11 ]
(%i2) y: matrix ([%pi, %e], [a, b]);
[ %pi %e ]
(%o2) [ ]
[ a b ]
(%i3) x + y;
[ %pi + 17 %e + 3 ]
(%o3) [ ]
[ a - 8 b + 11 ]
(%i4) x - y;
[ 17 - %pi 3 - %e ]
(%o4) [ ]
[ - a - 8 11 - b ]
(%i5) x * y;
[ 17 %pi 3 %e ]
(%o5) [ ]
[ - 8 a 11 b ]
(%i6) x / y;
[ 17 - 1 ]
[ --- 3 %e ]
[ %pi ]
(%o6) [ ]
[ 8 11 ]
[ - - -- ]
[ a b ]
(%i7) x ^ 3;
[ 4913 27 ]
(%o7) [ ]
[ - 512 1331 ]
(%i8) exp(y);
[ %pi %e ]
[ %e %e ]
(%o8) [ ]
[ a b ]
[ %e %e ]
(%i9) x ^ y;
[ %pi %e ]
[ ]
[ a b ]
[ 17 3 ]
(%o9) [ ]
[ - 8 11 ]
(%i10) x . y;
[ 3 a + 17 %pi 3 b + 17 %e ]
(%o10) [ ]
[ 11 a - 8 %pi 11 b - 8 %e ]
(%i11) y . x;
[ 17 %pi - 8 %e 3 %pi + 11 %e ]
(%o11) [ ]
[ 17 a - 8 b 11 b + 3 a ]
b^^mはb^mと同じです。
(%i12) x ^^ 3;
[ 3833 1719 ]
(%o12) [ ]
[ - 4584 395 ]
(%i13) %e ^^ y;
[ %pi %e ]
[ %e %e ]
(%o13) [ ]
[ a b ]
[ %e %e ]
(%i14) x ^^ -1;
[ 11 3 ]
[ --- - --- ]
[ 211 211 ]
(%o14) [ ]
[ 8 17 ]
[ --- --- ]
[ 211 211 ]
(%i15) x . (x ^^ -1);
[ 1 0 ]
(%o15) [ ]
[ 0 1 ]
f(M[i,j])に等しい要素i,jを持つ行列を返します。
map, fullmap, fullmapl, applyも参照してください。
もしexprが行列ならtrueを返し，そうでなければ、falseを返します。
デフォルト値: +
matrix_element_addは、
行列乗算の中で足し算の代わりに呼び出される演算です。
matrix_element_addは、
任意のn項演算子(すなわち、任意の数の引数を扱う関数)に割り当てられます。
割り当てられた値は、クォートマークでくくられた演算子の名前か、
関数名かラムダ式を取り得ます。
matrix_element_multとmatrix_element_transposeも参照してください。
例:
(%i1) matrix_element_add: "*"$
(%i2) matrix_element_mult: "^"$
(%i3) aa: matrix ([a, b, c], [d, e, f]);
[ a b c ]
(%o3) [ ]
[ d e f ]
(%i4) bb: matrix ([u, v, w], [x, y, z]);
[ u v w ]
(%o4) [ ]
[ x y z ]
(%i5) aa . transpose (bb);
[ u v w x y z ]
[ a b c a b c ]
(%o5) [ ]
[ u v w x y z ]
[ d e f d e f ]
デフォルト値: *
matrix_element_multは、
行列乗算の中で掛け算の代わりに呼び出される演算です。
matrix_element_multは、
任意の二項演算子に割り当てられます。
割り当てられた値は、クォートマークでくくられた演算子の名前か、関数名か、
ラムダ式を取り得ます。
ドット演算子.は、いくつかの文脈で役に立つ選択です。
matrix_element_addとmatrix_element_transposeも参照してください。
例:
(%i1) matrix_element_add: lambda ([[x]], sqrt (apply ("+", x)))$
(%i2) matrix_element_mult: lambda ([x, y], (x - y)^2)$
(%i3) [a, b, c] . [x, y, z];
2 2 2
(%o3) sqrt((c - z) + (b - y) + (a - x) )
(%i4) aa: matrix ([a, b, c], [d, e, f]);
[ a b c ]
(%o4) [ ]
[ d e f ]
(%i5) bb: matrix ([u, v, w], [x, y, z]);
[ u v w ]
(%o5) [ ]
[ x y z ]
(%i6) aa . transpose (bb);
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((c - w) + (b - v) + (a - u) ) ]
(%o6) Col 1 = [ ]
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((f - w) + (e - v) + (d - u) ) ]
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((c - z) + (b - y) + (a - x) ) ]
Col 2 = [ ]
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((f - z) + (e - y) + (d - x) ) ]
デフォルト値: false
matrix_element_transposeは、
転置される時、行列のそれぞれの要素に適用される演算です。
matrix_element_multは、任意の単項演算子に割り当てられます。
割り当てられた値はクォートマークでくくられた演算子の名前か、
関数名か、ラムダ式を取り得ます。
matrix_element_transposeがtransposeに等しい時、
transpose関数が要素すべてに適用されます。
matrix_element_transposeがnonscalarsに等しい時、
transpose関数は非スカラー要素すべてに適用されます。
もしある要素がアトムなら、nonscalarsオプションは
アトムが宣言された非スカラーの時だけtransposeを適用します。
一方、transposeオプションはいつもtransposeを適用します。
デフォルト値, false,はいかなる演算も適用しないことを意味します。
matrix_element_addとmatrix_element_multも参照してください。
例:
(%i1) declare (a, nonscalar)$
(%i2) transpose ([a, b]);
[ transpose(a) ]
(%o2) [ ]
[ b ]
(%i3) matrix_element_transpose: nonscalars$
(%i4) transpose ([a, b]);
[ transpose(a) ]
(%o4) [ ]
[ b ]
(%i5) matrix_element_transpose: transpose$
(%i6) transpose ([a, b]);
[ transpose(a) ]
(%o6) [ ]
[ transpose(b) ]
(%i7) matrix_element_transpose: lambda ([x], realpart(x)
- %i*imagpart(x))$
(%i8) m: matrix ([1 + 5*%i, 3 - 2*%i], [7*%i, 11]);
[ 5 %i + 1 3 - 2 %i ]
(%o8) [ ]
[ 7 %i 11 ]
(%i9) transpose (m);
[ 1 - 5 %i - 7 %i ]
(%o9) [ ]
[ 2 %i + 3 11 ]
正方行列Mの跡(すなわち、主対角上の要素の和)を返します。
mattraceは、ncharpoly―Maximaのcharpolyの代わり―
によってコールされます。
load ("nchrpl")はこの関数をロードします。
行列Mの
xに関する特性多項式を返します。
これはMaximaのcharpolyの代わりです。
ncharpolyは、与えられた行列のべきの跡を計算することで機能します。
それは、特性多項式の根のべきの和に等しいことが知られています。
それらの量から根の対称関数を計算することができます。
それらは、特性多項式の係数以上のなにものでもありません。
charpolyは、
x * ident [n] - aの行列式を形成することで機能します。
このように、
ncharpoly
は完全に多項式算術を避けるので、
例えば、整数で埋められた大きな密な行列の場合、ncharpolyが勝ります。
load ("nchrpl")はこのファイルをロードします。
アトムをドット演算子に関してリストか行列のように振る舞うようにします。
もしexprが非スカラー、すなわち、
非スカラーとして宣言されたアトムかリスト、行列を含むなら、
trueを返します。
行列Mのパーマネントを計算します。
パーマネントは行列式のようですが、符号が変わりません。
permanentはCRE形式で結果を返します。
newdetも参照してください。
行列Mのランクを計算します。 すなわち、Mの、最も大きな非特異な小行列式の次数です。
もしrankがゼロと同値の行列要素が確かにそうであることを決定することができないなら、 、間違った答えを返します。
デフォルト値: false
ratmxがfalseの時、
行列要素の表現で、行列式と行列の足し算、引き算、掛け算が実行され、
逆行列の結果は一般表現のまま残されます。
ratmxがtrueの時、
上で述べた４つの演算は、CRE形式で実行され、
逆行列の結果もCRE形式になります。
これは、(ratfacの設定に依って)
いつも望まれているわけではないですが、
要素が展開されるようになるかもしれないことに注意してください。
デフォルト値: ]
rmxcharは、行列の右辺に描かれる文字です。
lmxcharも参照してください。
デフォルト値: true
scalarmatrixpがtrueの時、
1 x 1行列が行列のドット積を計算した結果として生成される時はいつでも、
スカラー、すなわち、行列の唯一の要素、に整理されます。
scalarmatrixpがallの時、
すべての1 x 1行列はスカラーに整理されます。
scalarmatrixpがfalseの時、
1 x 1行列はスカラーに整理されません。
ここで、 coordinatetransformは、形式 [[expression1, expression2, ...], indeterminate1, indeterminat2, ...] に評価されます。また、 indeterminate1, indeterminate2, などは曲線座標変数であり、 直交カーテシアン成分の集合は、 [expression1, expression2, ...]によって、曲線座標を使って与えられます。
coordinatesが
ベクトル[indeterminate1, indeterminate2,...]に設定され、
dimensionがこのベクトルの長さに設定されます。
SF[1], SF[2], …, SF[DIMENSION]は、座標スケールファクタに設定され、
sfprodは、これらのスケールファクタの積に設定されます。
初期には、3次元直交カーテシアン座標に対応して、
coordinatesは[X, Y, Z]であり、
dimensionは3であり、SF[1]=SF[2]=SF[3]=SFPROD=1です。
式を現在の座標形の物理成分に展開するために、
形式?を利用する関数があります。
xを行列Mの(i, j)番目の要素に割り当て、 変わった行列を返します。
M [i, j]: xは同じ効果を持ちますが、
Mの代わりにxを返します。
similaritytransformは、
行列Mの相似変換を計算します。
uniteigenvectorsコマンドの出力であるリストを返します。
更に、もしフラグnondiagonalizableがfalseなら、
２つのグローバル行列leftmatrixとrightmatrixが計算されます。
これらの行列は、
leftmatrix . M . rightmatrixが
Mの固有値を対角上に持つ対角行列となるという性質を持ちます。
もしnondiagonalizableがtrueなら、
左右の行列は計算されません。
もしフラグhermitianmatrixがtrueなら、
leftmatrixは、rightmatrixの転置の複素共役です。
そうでなければ、leftmatrixはrightmatrixの逆行列です。
rightmatrixは、列がMの単位固有ベクトルである行列です。
他のフラグ(eigenvaluesとeigenvectorsを参照してください)は、
similaritytransformは、
rightmatrixを形成することができるようになるために、パッケージの中の他の関数をコールするので、
同じ効果を持ちます。
load ("eigen")はこの関数をロードします。
simtranは、similaritytransformと同義です。
デフォルト値: false
sparseがtrueの時、
かつ、もしratmxがtrueなら、
determinantは、粗な行列式を計算するために特別なルーチンを使います。
行i_1, …, i_mが取り除かれ、 列j_1, …, j_nが取り除かれた 行列Mから構成された新しい行列を返します。
Mの転置を返します。
もしMが行列なら、
戻り値は、N[i,j] = M[j,i]であるような別の行列Nです。
もしMがリストなら、
返し値は、N[i,1] = M[i]であるような、length (m)行1列の行列Nです。
そうでなければMはシンボルで、
戻り値は、名詞式'transpose (M)です。
ガウスの消去法で生成されるような、行列Mの右上三角化行列を返します。
戻り値は、
それぞれの行の先頭の非ゼロ係数が1に規格化されないことを除いて、
echelonと同じです。
lu_factorとcholeskyは、三角化行列をもらたす他の関数です。
(%i1) M: matrix ([3, 7, aa, bb], [-1, 8, 5, 2], [9, 2, 11, 4]);
[ 3 7 aa bb ]
[ ]
(%o1) [ - 1 8 5 2 ]
[ ]
[ 9 2 11 4 ]
(%i2) triangularize (M);
[ - 1 8 5 2 ]
[ ]
(%o2) [ 0 - 74 - 56 - 22 ]
[ ]
[ 0 0 626 - 74 aa 238 - 74 bb ]
行列Mの単位固有ベクトルを計算します。
戻り値は、リストのリストです。
最初の部分リストはeigenvaluesコマンドの出力であり、
他の部分リストは、固有値それぞれに対応する行列の単位固有ベクトルです。
eigenvectorsコマンドでの記述で言及されたフラグは、
これに関しても同じ効果を持ちます。
knowneigvectsがtrueの時、
eigenパッケージは、
行列の固有ベクトルがユーザーに知られていて、
グローバル名listeigvectsの下に記憶されていることを仮定します。
listeigvectsは、
eigenvectorsコマンドの出力に似たリストに設定されなければいけません。
もしknowneigvectsがtrueに設定されていて、
固有ベクトルのリストが与えれているなら、
フラグnondiagonalizableの設定は正しくないかもしれません。
もしこの場合に該当するなら、正しい値に設定してください。
作者は、ユーザーがしていることを知っていること、
固有値が適切な次元のベクトル空間を作り出さない行列を対角化しようとはしないことを
仮定しています。
load ("eigen")はこの関数をロードします。
ueivectsはuniteigenvectorsと同義です。
x/norm(x)を返します; これは、xと同じ向きの単位ベクトルです。
load ("eigen")はこの関数をロードします。
uvectは、unitvectorと同義です。
現在の座標系で与えられた回転ベクトルのベクトルポテンシャルを返します。
potentialzerolocが potentialに対して似たような役割を持ちますが、
等式の左辺側の次数は座標変数の巡回置換でなければいけません。
現在の座標系で、与えられた回転ベクトルのベクトルポテンシャルを返します。
potentialzerolocは、potentialと同様の役割を持ちますが、
等式の左辺の順序が座標の巡回置換でなければいけません。
以下のグローバルフラグに従って整理と展開を適用します:
expandall, expanddot, expanddotplus, expandcross, expandcrossplus,
expandcrosscross, expandgrad, expandgradplus, expandgradprod,
expanddiv, expanddivplus, expanddivprod, expandcurl, expandcurlplus,
expandcurlcurl, expandlaplacian, expandlaplacianplus,
expandlaplacianprod.
これらのフラグすべては、デフォルト値falseを持ちます。
plus接尾辞は、加算性や分配性の利用に関係します。
prod接尾辞は、任意の種類の積のオペランドに関する展開に関係します。
expandcrosscrossp ~ (q ~ r)を(p . r)*q - (p . q)*rに整理します。
expandcurlcurlcurl curl pをgrad div p + div grad pに整理します。
expandlaplaciantodivgradlaplacian pをdiv grad pに整理します。
expandcrossexpandcrossplusとexpandcrosscrossを有効にします。
expandplusexpanddotplus, expandcrossplus, expandgradplus,
expanddivplus, expandcurlplus, expandlaplacianplusを有効にします。
expandprodexpandgradprod, expanddivprod, expandlaplacianprodを有効にします。
これらのフラグはすべてevflagとして宣言されています。
デフォルト値: false
vect_crossがtrueの時、
~がSHARE;VECTの中で定義されているところ
(とにかく、VECT_CROSSがtrueに設定されているところ)
でDIFF(X~Y,T)が機能するようにします。