Siguiente: Matrices y Álgebra Lineal, Anterior: Ecuaciones Diferenciales [Índice general][Índice]
Siguiente: Funciones y variables para la transformada rápida de Fourier, Anterior: Métodos numéricos, Subir: Métodos numéricos [Índice general][Índice]
El paquete fft
contiene funciones para el cálculo numérico (no simbólico)
de la transformada rápida de Fourier.
Siguiente: Funciones para la resolución numérica de ecuaciones, Anterior: Introducción a la transformada rápida de Fourier, Subir: Métodos numéricos [Índice general][Índice]
Transforma valores complejos de la forma r %e^(%i t)
a la forma
a + b %i
, siendo r el módulo y t la fase.
Ambos valores r y t son arrays unidimensionales cuyos
tamños son iguales a la misma potencia de dos.
Los valores originales de los arrays de entrada son reemplazados por
las partes real e imaginaria, a
y b
, de los correspondientes
números complejos. El resultado se calcula como
a = r cos(t) b = r sin(t)
polartorect
es la función inversa de recttopolar
.
Para utilizar esta función ejecútese antes load("fft")
.
Véase también fft
.
Transforma valores complejos de la forma a + b %i
a la forma
r %e^(%i t)
, siendo a la parte real y a la imaginaria.
Ambos valores a y b son arrays unidimensionales cuyos
tamños son iguales a la misma potencia de dos.
Los valores originales de los arrays de entrada son reemplazados por
los módulos y las fases, r
y t
, de los correspondientes
números complejos. El resultado se calcula como
r = sqrt(a^2 + b^2) t = atan2(b, a)
El ángulo calculado pertence al rango de -%pi
a %pi
.
recttopolar
es la función inversa de polartorect
.
Para utilizar esta función ejecútese antes load("fft")
.
Véase también fft
.
Calcula la transformada inversa rápida de Fourier.
y es una lista o array (declarado o no) que contiene los datos a
transformar. El número de elementos debe ser una potencia de dos.
Los elementos deben ser números literales (enteros, racionales,
de punto flotante o decimales grandes), constantes simbólicas,
expresiones del tipo a + b*%i
, siendo a
y b
números literales, o constantes simbólicas.
La función inverse_fft
devuelve un nuevo objeto del
mismo tipo que y, el cual no se ve modificado. Los
resultados se calculan siempre como decimales o expresiones a + b*%i
,
siendo a
y b
decimales.
La transformada inversa discreta de Fourier se define como se indica
a continuación. Si x
es el resultado de la transformada inversa,
entonces para j
entre 0 y n - 1
se tiene
x[j] = sum(y[k] exp(-2 %i %pi j k / n), k, 0, n - 1)
Para utilizar esta función ejecútese antes load("fft")
.
Véanse también fft
(transformada directa), recttopolar
y polartorect
.
Ejemplos:
Datos reales.
(%i1) load ("fft") $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $ (%i4) L1 : inverse_fft (L); (%o4) [0.0, 14.49 %i - .8284, 0.0, 2.485 %i + 4.828, 0.0, 4.828 - 2.485 %i, 0.0, - 14.49 %i - .8284] (%i5) L2 : fft (L1); (%o5) [1.0, 2.0 - 2.168L-19 %i, 3.0 - 7.525L-20 %i, 4.0 - 4.256L-19 %i, - 1.0, 2.168L-19 %i - 2.0, 7.525L-20 %i - 3.0, 4.256L-19 %i - 4.0] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 3.545L-16
Datos complejos.
(%i1) load ("fft") $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $ (%i4) L1 : inverse_fft (L); (%o4) [4.0, 2.711L-19 %i + 4.0, 2.0 %i - 2.0, - 2.828 %i - 2.828, 0.0, 5.421L-20 %i + 4.0, - 2.0 %i - 2.0, 2.828 %i + 2.828] (%i5) L2 : fft (L1); (%o5) [4.066E-20 %i + 1.0, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 1.55L-19 %i - 1.0, - 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 7.368L-20 %i] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 6.841L-17
Calcula la transformada rápida compleja de Fourier.
x es una lista o array (declarado o no) que contiene los datos a
transformar. El número de elementos debe ser una potencia de dos.
Los elementos deben ser números literales (enteros, racionales,
de punto flotante o decimales grandes), constantes simbólicas,
expresiones del tipo a + b*%i
, siendo a
y b
números literales, o constantes simbólicas.
La función fft
devuelve un nuevo objeto del
mismo tipo que x, el cual no se ve modificado. Los
resultados se calculan siempre como decimales o expresiones a + b*%i
,
siendo a
y b
decimales.
La transformada discreta de Fourier se define como se indica
a continuación. Si y
es el resultado de la transformada inversa,
entonces para k
entre 0 y n - 1
se tiene
y[k] = (1/n) sum(x[j] exp(+2 %i %pi j k / n), j, 0, n - 1)
Si los datos x son reales, los coeficientes reales a
y b
se pueden calcular de manera que
x[j] = sum(a[k]*cos(2*%pi*j*k/n)+b[k]*sin(2*%pi*j*k/n), k, 0, n/2)
con
a[0] = realpart (y[0]) b[0] = 0
y, para k entre 1 y n/2 - 1,
a[k] = realpart (y[k] + y[n - k]) b[k] = imagpart (y[n - k] - y[k])
y
a[n/2] = realpart (y[n/2]) b[n/2] = 0
Para utilizar esta función ejecútese antes load("fft")
.
Véanse también inverse_fft
(transformada inversa), recttopolar
y polartorect
.
Ejemplos:
Datos reales.
(%i1) load ("fft") $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4] $ (%i4) L1 : fft (L); (%o4) [0.0, - 1.811 %i - .1036, 0.0, .6036 - .3107 %i, 0.0, .3107 %i + .6036, 0.0, 1.811 %i - .1036] (%i5) L2 : inverse_fft (L1); (%o5) [1.0, 2.168L-19 %i + 2.0, 7.525L-20 %i + 3.0, 4.256L-19 %i + 4.0, - 1.0, - 2.168L-19 %i - 2.0, - 7.525L-20 %i - 3.0, - 4.256L-19 %i - 4.0] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 3.545L-16
Datos complejos.
(%i1) load ("fft") $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 1 + %i, 1 - %i, -1, -1, 1 - %i, 1 + %i, 1] $ (%i4) L1 : fft (L); (%o4) [0.5, .3536 %i + .3536, - 0.25 %i - 0.25, 0.5 - 6.776L-21 %i, 0.0, - .3536 %i - .3536, 0.25 %i - 0.25, 0.5 - 3.388L-20 %i] (%i5) L2 : inverse_fft (L1); (%o5) [1.0 - 4.066E-20 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.0 - 1.0 %i, - 1.008L-19 %i - 1.0, 4.066E-20 %i - 1.0, 1.0 - 1.0 %i, 1.0 %i + 1.0, 1.947L-20 %i + 1.0] (%i6) lmax (abs (L2 - L)); (%o6) 6.83L-17
Cálculo de los coeficientes del seno y coseno.
(%i1) load ("fft") $ (%i2) fpprintprec : 4 $ (%i3) L : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] $ (%i4) n : length (L) $ (%i5) x : make_array (any, n) $ (%i6) fillarray (x, L) $ (%i7) y : fft (x) $ (%i8) a : make_array (any, n/2 + 1) $ (%i9) b : make_array (any, n/2 + 1) $ (%i10) a[0] : realpart (y[0]) $ (%i11) b[0] : 0 $ (%i12) for k : 1 thru n/2 - 1 do (a[k] : realpart (y[k] + y[n - k]), b[k] : imagpart (y[n - k] - y[k])); (%o12) done (%i13) a[n/2] : y[n/2] $ (%i14) b[n/2] : 0 $ (%i15) listarray (a); (%o15) [4.5, - 1.0, - 1.0, - 1.0, - 0.5] (%i16) listarray (b); (%o16) [0, - 2.414, - 1.0, - .4142, 0] (%i17) f(j) := sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2) $ (%i18) makelist (float (f (j)), j, 0, n - 1); (%o18) [1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0]
Siguiente: Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales, Anterior: Funciones y variables para la transformada rápida de Fourier, Subir: Métodos numéricos [Índice general][Índice]
Cambia el formato de expr según la regla de Horner utilizando x como variable principal, si ésta se especifica. El argumento x
se puede omitir, en cuyo caso se considerará como variable principal la de expr en su formato racional canónico (CRE).
La función horner
puede mejorar las estabilidad si expr
va a ser numéricamente evaluada. También es útil si Maxima se utiliza para generar programas que serán ejecutados en Fortran. Véase también stringout
.
(%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155; 2 (%o1) 1.0E-155 x - 5.5 x + 5.2E+155 (%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true; (%o2) (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155 (%i3) ev (expr, x=1e155); Maxima encountered a Lisp error: floating point overflow Automatically continuing. To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil. (%i4) ev (expr2, x=1e155); (%o4) 7.0E+154
Calcula una raíz de la expresión expr o de
la función f en el intervalo cerrado [a, b].
La expresión expr puede ser una ecuación, en cuyo caso
find_root
busca una raíz de
lhs(expr) - rhs(expr)
.
Dado que Maxima puede evaluar expr o f en
[a, b], entonces, si expr o f es
continua, find_root
encuentrará la raíz
buscada, o raíces, en caso de existir varias.
La función find_root
aplica al principio la
búsqueda por bipartición. Si la expresión es lo suficientemente
suave, entonces find_root
aplicará el método
de interpolación lineal.
bf_find_root
es una versión de find_root
para números
reales de precisión arbitraria (bigfloat). La función se
evalúa utilizando la aritmética de estos números, devolviendo
un resultado numérico de este tipo. En cualquier otro aspecto,
bf_find_root
es idéntica a find_root
, siendo la
explicación que sigue igualmente válida para bf_find_root
.
La precisión de find_root
está controlada por abserr
y
relerr
, que son claves opcionales para find_root
.
Estas claves toman la forma key=val
. Las claves disponibles son:
abserr
Error absoluto deseado de la función en la raíz. El
valor por defecto es find_root_abs
.
relerr
Error relativo deseado de la raíz. El valor por defecto
es find_root_rel
.
find_root
se detiene cuando la función alcanza un valor menor o
igual que abserr
, o si las sucesivas aproximaciones x_0, x_1
difieren en no más que relerr * max(abs(x_0), abs(x_1))
. Los
valores por defecto de find_root_abs
y find_root_rel
son
ambos cero.
find_root
espera que la función en cuestión tenga signos
diferentes en los extremos del intervalo.
Si la función toma valores numéricos en ambos extremos y estos
números son del mismo signo, entonces
el comportamiento de find_root
se controla con find_root_error
.
Cuando find_root_error
vale true
, find_root
devuelve un mensaje de error; en caso contrario, find_root
devuelve el valor de find_root_error
. El valor por defecto
de find_root_error
es true
.
Si en algún momento del proceso de búsqueda f alcanza un valor
no numérico, find_root
devuelve una expresión parcialmente evaluada.
Se ignora el orden de a y b; la región de búsqueda es [min(a, b), max(a, b)].
Ejemplos:
(%i1) f(x) := sin(x) - x/2; x (%o1) f(x) := sin(x) - - 2 (%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi); (%o2) 1.895494267033981 (%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi); (%o3) 1.895494267033981 (%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi); (%o4) 1.895494267033981 (%i5) find_root (f, 0.1, %pi); (%o5) 1.895494267033981 (%i6) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100); x (%o6) find_root(%e = y, x, 0.0, 100.0) (%i7) find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10; (%o7) 2.302585092994046 (%i8) log (10.0); (%o8) 2.302585092994046 (%i9) fpprec:32; (%o9) 32 (%i10) bf_find_root (exp(x) = y, x, 0, 100), y = 10; (%o10) 2.3025850929940456840179914546844b0 (%i11) log(10b0); (%o11) 2.3025850929940456840179914546844b0
Devuelve una solución aproximada de expr = 0
obtenida
por el método de Newton, considerando expr como una función
de una variable, x.
La búsqueda comienza con x = x_0
y continúa
hasta que se verifique abs(expr) < eps
, donde
expr se evalúa con el valor actual de x.
La función newton
permite que en expr haya variables
no definidas, siempre y cuando la condición de terminación
abs(expr) < eps
pueda reducirse a un valor
lógico true
o false
; de este modo, no es necesario
que expr tome un valor numérico.
Ejecútese load("newton1")
para cargar esta función.
Véanse también realroots
, allroots
, find_root
y mnewton
.
Ejemplos:
(%i1) load ("newton1"); (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100); (%o2) 1.570675277161251 (%i3) ev (cos (u), u = %); (%o3) 1.2104963335033528E-4 (%i4) assume (a > 0); (%o4) [a > 0] (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100); (%o5) 1.00030487804878 a (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %); 2 (%o6) 6.098490481853958E-4 a
Siguiente: Funciones para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales, Anterior: Funciones para la resolución numérica de ecuaciones, Subir: Métodos numéricos [Índice general][Índice]
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que se resuelven con las funciones de esta sección deben tener la forma
dy -- = F(x,y) dx
la cual es una EDO de primer orden. Las ecuaciones diferenciales de orden n deben escribirse como un sistema de n ecuaciones de primer orden del tipo anterior. Por ejemplo, una EDO de segundo orden debe escribirse como un sistema de dos ecuaciones,
dx dy -- = G(x,y,t) -- = F(x,y,t) dt dt
El primer argumento de las funciones debe ser una lista con las expresiones de los miembros derechos de las EDOs. Las variables cuyas derivadas se representan por las expresiones anteriores deben darse en una segunda lista. En el caso antes citado, las variables son x y y. La variable independiente, t en los mismos ejemplos anteriores, pueden darse mediante una opción adicional. Si las expresiones dadas no dependen de esa variable independiente, el sistema recibe el nombre de autónomo.
Anterior: Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales, Subir: Métodos numéricos [Índice general][Índice]
[
u,v]
, ...options...) ¶[
dxdt,dydt]
, ...options...) ¶[
dudt,dvdt]
, [
u,v]
, ...options...) ¶Dibuja un campo de direcciones en dos dimensiones x y y.
dydx, dxdt y dydt son expresiones que dependen de x y
y. Además de esas dos variables, las dos expresiones pueden depender de
un conjunto de parámetros, con valores numéricos que son dados por medio
de la opción parameters
(la sintaxis de esa opción se explica mas al
frente), o con un rango de posibles valores definidos con la opción
sliders.
Varias otras opciones se pueden incluir dentro del comando, o
seleccionadas en el menú. Haciendo click en un punto del gráfico se
puede hacer que sea dibujada la curva integral que pasa por ese punto;
lo mismo puede ser hecho dando las coordenadas del punto con la opción
trajectory_at
dentro del comando plotdf. La dirección de
integración se puede controlar con la opción direction
, que
acepta valores de forward, backward ou both. El
número de pasos realizado en la integración numérica se controla
con la opción nsteps
y el incremento del tiempo en cada paso
con la opción tstep
. Se usa el método de Adams Moulton para
hacer la integración numérica; también es posible cambiar para el
método de Runge-Kutta de cuarto orden con ajuste de pasos.
Menú de la ventana del gráfico:
El menú de la ventana gráfica dispone de las siguientes opciones: Zoom, que permite cambiar el comportamiento del ratón, de manera que hará posible el hacer zoom en la región del gráfico haciendo clic con el botón izquierdo. Cada clic agranda la imagen manteniendo como centro de la misma el punto sobre el cual se ha hecho clic. Manteniendo pulsada la tecla Shift mientras se hace clic, retrocede al tamaño anterior. Para reanudar el cálculo de las trayectorias cuando se hace clic, seleccine la opción Integrate del menú.
La opción Config del menú se puede utilizar para cambiar la(s) EDO(S) y algunos otros ajustes. Después de hacer los cambios, se debe utilizar la opción Replot para activar los nuevos ajustes. Si en el campo Trajectory at del menú de diálogo de Config se introducen un par de coordenadas y luego se pulsa la tecla retorno, se mostrará una nueva curva integral, además de las ya dibujadas. Si se selecciona la opción Replot, sólo se mostrará la última curva integral seleccionada.
Manteniendo pulsado el botón derecho del ratón mientras se mueve el cursor, se puede arrastrar el gráfico horizontal y verticalmente. Otros parámetros, como pueden ser el número de pasos, el valor inicial de t, las coordenadas del centro y el radio, pueden cambiarse en el submenú de la opción Config.
Con la opción Save, se puede obtener una copia del gráfico en una impresora Postscript o guardarlo en un fichero Postscript. Para optar entre la impresión o guardar en fichero, se debe seleccionar Print Options en la ventana de diálogo de Config. Una vez cubiertos los campos de la ventana de diálogo de Save, será necesario seleccionar la opción Save del primer menú para crear el fichero o imprimir el gráfico.
Opciones gráficas:
La función plotdf
admite varias opciones, cada una de las cuales
es una lista de dos o más elementos. El primer elemento es el nombre de
la opción, y el resto está formado por el valor o valores asignados
a dicha opción.
La función plotdf
reconoce las siguientes opciones:
tstep
que se utilizarán en la variable independiente para
calcular la curva integral.
El valor por defecto es 100.
forward
, para hacer que la variable
independiente aumente nsteps
veces, con incrementos tstep
;
backward
, para hacer que la variable independiente
disminuya; both
, para extender la curva integral nsteps
pasos hacia adelante y nsteps
pasos hacia atrás.
Las palabras right
y left
se pueden utilizar como
sinónimos de forward
y backward
.
El valor por defecto es both
.
versus_t
cualquier valor diferente de 0, se mostrará la
segunda ventana gráfica, la cual incluye otro menú, similar
al de la ventana principal.
El valor por defecto es 0.
nombre=valor
separados por comas.
nombre=min:max
separados por comas.
Ejemplos:
NOTA: Dependiendo de la interface que se use para Maxima, las funciones
que usan openmath
, incluida plotdf
, pueden desencadenar un
fallo si terminan en punto y coma, en vez del símbolo de
dólar. Para evitar problemas, se usará el símbolo de
dólar en todos ejemplos.
(%i1) load("plotdf")$ (%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]);
(%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"], [trajectory_at,-1,3], [direction,forward], [yradius,5],[xcenter,6]);
El gráfico también muestra la función y = sqrt(x).
(%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,"m=2,k=2"], [sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0]);
(%i5) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m], [parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"], [sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1]);
(%i6) plotdf([y,-g*sin(x)/l - b*y/m/l], [parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"], [trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01], [xradius,6],[yradius,14], [xcenter,-4],[direction,forward],[nsteps,300], [sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1]);
Dibuja curvas equipotenciales para exp, que debe ser una expresión
dependiente de dos variables. Las curvas se obtienen integrando la ecuación
diferencial que define las trayectorias ortogonales a las soluciones del
sistema autónomo que se obtiene del gradiente de la expresión dada.
El dibujo también puede mostrar las curvas integrales de ese sistema
de gradientes (opción fieldlines
).
Este programa también necesita Xmaxima, incluso si se ejecuta Maxima desde
una consola, pues el dibujo se creará por el código Tk de Xmaxima.
Por defecto, la región dibujada estará vacía hasta que el
usuario haga clic en un punto, dé sus coordenadas a través del menú o
mediante la opción trajectory_at
.
La mayor parte de opciones aceptadas por plotdf
se pueden utilizar
también con ploteq
y el aspecto del interfaz es el mismo que el
descrito para plotdf
.
Ejemplo:
(%i1) V: 900/((x+1)^2+y^2)^(1/2)-900/((x-1)^2+y^2)^(1/2)$ (%i2) ploteq(V,[x,-2,2],[y,-2,2],[fieldlines,"blue"])$
Haciendo clic sobre un punto se dibujará la curva equipotencial que pasa por ese punto (en rojo) y la trayectoria ortogonal (en azul).
La primera forma se usa para resolver numéricamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (EDO), y la segunda forma resuelve numéricamente un sistema de m de esas ecuaciones, usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden. var representa la variable dependiente. EDO debe ser una expresión que dependa únicamente de las variables independiente y dependente, y define la derivada de la variable dependiente en función de la variable independiente.
La variable independiente se representa con dominio, que debe ser una lista con cuatro elementos, como por ejemplo:
[t, 0, 10, 0.1]
el primer elemento de la lista identifica la variable independiente, el segundo y tercer elementos son los valores inicial y final para esa variable, y el último elemento da el valor de los incrementos que deberán ser usados dentro de ese intervalo.
Si se van a resolver m ecuaciones, deberá haber m variables dependientes v1, v2, ..., vm. Los valores iniciales para esas variables serán inic1, inic2, ..., inicm. Continuará existiendo apenas una variable independiente definida por la lista domain, como en el caso anterior. EDO1, ..., EDOm son las expresiones que definen las derivadas de cada una de las variables dependientes en función de la variable independiente. Las únicas variables que pueden aparecer en cada una de esas expresiones son la variable independiente y cualquiera de las variables dependientes. Es importante que las derivadas EDO1, ..., EDOm sean colocadas en la lista en el mismo orden en que fueron agrupadas las variables dependientes; por ejemplo, el tercer elemento de la lista será interpretado como la derivada de la tercera variable dependiente.
El programa intenta integrar las ecuaciones desde el valor inicial de la variable independiente, hasta el valor final, usando incrementos fijos. Si en algún paso una de las variables dependientes toma un valor absoluto muy grande, la integración será suspendida en ese punto. El resultado será una lista con un número de elementos igual al número de iteraciones realizadas. Cada elemento en la lista de resultados es también una lista con m+1 elementos: el valor de la variable independiente, seguido de los valores de las variables dependientes correspondientes a ese punto.
Siguiente: Matrices y Álgebra Lineal, Anterior: Ecuaciones Diferenciales [Índice general][Índice]