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El operador . realiza la multiplicación matricial y el producto escalar.
Cuando los operandos son dos matrices columna o matrices fila a y b,
la expresión a.b es equivalente a sum (a[i]*b[i], i, 1, length(a)).
Si a y b no son complejos, estamos en el caso del producto escalar.
En caso de ser a y b vectores en el campo complejo, el producto
escalar se define como conjugate(a).b; la función innerproduct del
paquete eigen realiza el producto escalar complejo.
Cuando los operandos son matrices de índole más general,
el resultado que se obtiene es el producto matricial de a por b.
El número de filas de b debe ser igual al número de columnas de a,
y el resultado tiene un número de filas igual al de a y un número de
columnas igual al de b.
Al objeto de distinguir . como operador aritmético del punto decimal
de la notación en coma flotante, puede ser necesario dejar espacios a ambos lados.
Por ejemplo, 5.e3 es 5000.0 pero 5 . e3 es 5 por e3.
Hay algunas variables globales que controlan la simplificación de expresiones que
contengan al operador ., a saber,
dot, dot0nscsimp, dot0simp, dot1simp, dotassoc,
dotconstrules, dotdistrib, dotexptsimp, dotident,
y dotscrules.
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El paquete vect define funciones para análisis vectorial. Para cargar el paquete en memoria se debe hacer
load ("vect") y con demo ("vect") se presenta una demostración sobre las funciones del paquete.
El paquete de análisis vectorial puede combinar y simplificar expresiones simbólicas que incluyan productos escalares y vectoriales, junto con los operadores de gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano. La distribución de estos operadores sobre sumas o productos se gobierna por ciertas variables, al igual que otras transformaciones, incluida la expansión en componentes en cualquier sistema de coordenadas especificado. También hay funciones para obtener el potencial escalar o vectorial de un campo.
El paquete vect contiene las siguientes funciones:
vectorsimp, scalefactors,
express, potential y vectorpotential.
Por defecto, el paquete vect no declara el operador . como conmutativo.
Para transformarlo en conmutativo, se debe ejecutar previamente la instrucción
declare(".", commutative).
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El paquete eigen contiene funciones para el cálculo
simbólico de valores y vectores propios. Maxima carga el paquete
automáticamente si se hace una llamada a cualquiera de las dos funciones
eigenvalues o eigenvectors. El paquete se puede cargar de
forma explícita mediante load ("eigen").
La instrucción demo ("eigen") hace una demostración de las funciones de este paquete;
batch ("eigen") realiza la misma demostración pero sin pausas entre los
sucesivos cálculos.
Las funciones del paquete eigen son
innerproduct, unitvector, columnvector,
gramschmidt, eigenvalues, eigenvectors, uniteigenvectors
y similaritytransform.
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Añade la/s columna/s dada/s por la/s lista/s (o matrices) a la matriz M.
Añade la/s fila/s dada/s por la/s lista/s (o matrices) a la matriz M.
Devuelve el adjunto de la matriz M. La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores de M.
Devuelve la matriz aumentada de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales eqn_1, ..., eqn_m de variables x_1, ..., x_n. Se trata de la matriz de coeficientes con una columna adicional para los términos constantes de cada ecuación, es decir, aquellos términos que no dependen de las variables x_1, ..., x_n.
(%i1) m: [2*x - (a - 1)*y = 5*b, c + b*y + a*x = 0]$
(%i2) augcoefmatrix (m, [x, y]);
[ 2 1 - a - 5 b ]
(%o2) [ ]
[ a b c ]
Devuelve una matriz de Cauchy n by m de elementos
a[i,j] = 1/(x_i+y_i).
El segundo elemento de cauchy_matrix es opcional, y en caso
de no estar presente, los elementos serán de la forma
a[i,j] = 1/(x_i+x_j).
Observación: en la literatura, la matriz de Cauchy se define a veces con sus elementos de la forma a[i,j] = 1/(x_i-y_i).
Ejemplos:
(%i1) cauchy_matrix([x1,x2],[y1,y2]);
[ 1 1 ]
[ ------- ------- ]
[ y1 + x1 y2 + x1 ]
(%o1) [ ]
[ 1 1 ]
[ ------- ------- ]
[ y1 + x2 y2 + x2 ]
(%i2) cauchy_matrix([x1,x2]);
[ 1 1 ]
[ ---- ------- ]
[ 2 x1 x2 + x1 ]
(%o2) [ ]
[ 1 1 ]
[ ------- ---- ]
[ x2 + x1 2 x2 ]
Calcula el polinomio característico de la matriz M
respecto de la variable x. Esto es,
determinant (M - diagmatrix (length (M), x)).
(%i1) a: matrix ([3, 1], [2, 4]);
[ 3 1 ]
(%o1) [ ]
[ 2 4 ]
(%i2) expand (charpoly (a, lambda));
2
(%o2) lambda - 7 lambda + 10
(%i3) (programmode: true, solve (%));
(%o3) [lambda = 5, lambda = 2]
(%i4) matrix ([x1], [x2]);
[ x1 ]
(%o4) [ ]
[ x2 ]
(%i5) ev (a . % - lambda*%, %th(2)[1]);
[ x2 - 2 x1 ]
(%o5) [ ]
[ 2 x1 - x2 ]
(%i6) %[1, 1] = 0;
(%o6) x2 - 2 x1 = 0
(%i7) x2^2 + x1^2 = 1;
2 2
(%o7) x2 + x1 = 1
(%i8) solve ([%th(2), %], [x1, x2]);
1 2
(%o8) [[x1 = - -------, x2 = - -------],
sqrt(5) sqrt(5)
1 2
[x1 = -------, x2 = -------]]
sqrt(5) sqrt(5)
Devuelve la matriz de coeficientes para las variables x_1, ..., x_n del sistema de ecuaciones lineales eqn_1, ..., eqn_m.
(%i1) coefmatrix([2*x-(a-1)*y+5*b = 0, b*y+a*x = 3], [x,y]);
[ 2 1 - a ]
(%o1) [ ]
[ a b ]
Devuelve la i-ésima columna de la matriz M. El resultado es una matriz de una sola columna.
Devuelve una matriz con una columna y length (L) filas,
conteniendo los elementos de la lista L.
La llamada covect es un sinónimo de columnvector.
Es necesario cargar la función haciendo load ("eigen").
Ejemplo:
(%i1) load ("eigen")$
Warning - you are redefining the Macsyma function eigenvalues
Warning - you are redefining the Macsyma function eigenvectors
(%i2) columnvector ([aa, bb, cc, dd]);
[ aa ]
[ ]
[ bb ]
(%o2) [ ]
[ cc ]
[ ]
[ dd ]
Devuelve una copia de la matriz M. Esta es la única manera de obtener una réplica de M además de la de copiar elemento a elemento.
Nótese que una asignación de una matriz a otra, como en m2: m1,
no hace una copia de m1. Asignaciones del tipo m2 [i,j]: x o
setelmx (x, i, j, m2 también modifica m1 [i,j]. Si se crea una copia
con copymatrix y luego se hacen asignaciones se tendrá una copia separada y
modificada.
Calcula el determinante de M por un método similar al de eliminación de Gauss
La forma del resultado depende del valor asignado
a ratmx.
Existe una rutina especial para calcular determinantes de matrices con elementos dispersas, la cual
será invocada cuando las variables ratmx y sparse valgan ambas
true.
Valor por defecto: false
Cuando detout vale true, el determinante de la matriz
cuya inversa se calcula aparece como un factor fuera de la matriz.
Para que esta variable surta efecto, doallmxops y doscmxops deberían tener
el valor false (véanse sus descripciones). Alternativamente, esta
variable puede ser suministrada a ev.
Ejemplo:
(%i1) m: matrix ([a, b], [c, d]);
[ a b ]
(%o1) [ ]
[ c d ]
(%i2) detout: true$
(%i3) doallmxops: false$
(%i4) doscmxops: false$
(%i5) invert (m);
[ d - b ]
[ ]
[ - c a ]
(%o5) ------------
a d - b c
Devuelve una matriz diagonal de orden n
con los elementos de la diagonal todos ellos iguales a x. La llamada
diagmatrix (n, 1) devuelve una matriz identidad
(igual que ident (n)).
La variable n debe ser un número entero, en caso contrario diagmatrix envía un mensaje de error.
x puede ser cualquier tipo de expresión, incluso otra matriz. Si x es una matriz, no se copia; todos los elementos de la diagonal son iguales a x.
Valor por defecto: true
Cuando doallmxops vale true,
todas las operaciones relacionadas con matrices son
llevadas a cabo. Cuando es false, entonces las
selecciones para dot controlan las operaciones a ejecutar.
Valor por defecto: true
Cuando domxexpt vale true,
un exponente matricial, como exp (M) donde M es
una matriz, se interpreta como una matriz cuyo elemento [i,j es
igual a exp (m[i,j]). En otro caso, exp (M) se
evalúa como exp (ev(M)).
La variable domxexpt afecta a todas las expresiones de la forma base^exponente
donde base es una expresión escalar o constante y exponente es una
lista o matriz.
Ejemplo:
(%i1) m: matrix ([1, %i], [a+b, %pi]);
[ 1 %i ]
(%o1) [ ]
[ b + a %pi ]
(%i2) domxexpt: false$
(%i3) (1 - c)^m;
[ 1 %i ]
[ ]
[ b + a %pi ]
(%o3) (1 - c)
(%i4) domxexpt: true$
(%i5) (1 - c)^m;
[ %i ]
[ 1 - c (1 - c) ]
(%o5) [ ]
[ b + a %pi ]
[ (1 - c) (1 - c) ]
Valor por defecto: true
Cuando domxmxops vale true, se realizan todas las operaciones entre
matrices o entre matrices y listas (pero no las operaciones
entre matrices y escalares); si esta variable es false tales
operaciones no se realizan.
Valor por defecto: false
Cuando domxnctimes vale true, se calculan los productos
no conmutativos entre matrices.
Valor por defecto: []
En dontfactor puede guardarse una lista de variables respecto de
las cuales no se realizarán factorizaciones. Inicialmente, la lista
está vacía.
Valor por defecto: false
Cuando doscmxops vale true, se realizan las operaciones entre escalares y
matrices.
Valor por defecto: false
Cuando doscmxplus vale true, las operaciones entre
escalares y matrices dan como resultado una matriz.
Valor por defecto: true
(Esta descripción no está clara en la versión inglesa original.)
Valor por defecto: true
Cuando dotassoc vale true, una expresión como (A.B).C se transforma en
A.(B.C).
Valor por defecto: true
Cuando dotconstrules vale true, un producto no conmutativo de una
constante con otro término se transforma en un producto conmutativo.
Valor por defecto: false
Cuando dotdistrib vale true, una expresión como A.(B + C) se transforma en A.B + A.C.
Valor por defecto: true
Cuando dotexptsimp vale true, una expresión como A.A se transforma en A^^2.
Valor por defecto: 1
El valor de la variable dotident es el resultado devuelto por X^^0.
Valor por defecto: false
Cuando dotscrules vale true, una expresión como A.SC o SC.A se transforma
en SC*A y A.(SC*B) en SC*(A.B).
Devuelve la forma escalonada de la matriz M, obtenida por eliminación gaussiana. La forma escalonada se calcula a partir de M mediante operaciones elementales con sus filas, de tal manera que el primer elemento no nulo de cada fila en la matriz resultado es la unidad y que cada elemento de la columna por debajo del primer uno de cada fila sean todos ceros.
La función triangularize también lleva a cabo la eliminación gaussiana, pero no
normaliza el primer elemento no nulo de cada fila.
Otras funciones, como lu_factor y cholesky, también dan como resultados
matrices triangularizadas.
(%i1) M: matrix ([3, 7, aa, bb], [-1, 8, 5, 2], [9, 2, 11, 4]);
[ 3 7 aa bb ]
[ ]
(%o1) [ - 1 8 5 2 ]
[ ]
[ 9 2 11 4 ]
(%i2) echelon (M);
[ 1 - 8 - 5 - 2 ]
[ ]
[ 28 11 ]
[ 0 1 -- -- ]
(%o2) [ 37 37 ]
[ ]
[ 37 bb - 119 ]
[ 0 0 1 ----------- ]
[ 37 aa - 313 ]
Devuelve una lista con dos sublistas. La primera sublista la forman los valores propios de la matriz M y la segunda sus multiplicidades correspondientes.
El nombre eivals es un sinónimo de eigenvalues.
La función eigenvalues llama a la función solve para calcular las raíces
del polinomio característico de la matriz. En ocasiones, solve no
podrá encontrar dichas raíces, en cuyo caso otras funciones de este paquete
no trabajarán correctamente, a excepción de innerproduct,
unitvector, columnvector y gramschmidt.
En algunos casos los valores propios encontrados por solve serán
expresiones complicadas, las cuales se podrán simplificar haciendo uso
de otras funciones.
El paquete eigen.mac se carga en memoria de forma automática cuando
se invocan eigenvalues o eigenvectors. Si eigen.mac no
está ya cargado, load ("eigen") lo carga. Tras la carga, todas las
funciones y variables del paquete estarán activas.
Calcula los vectores propios de la matriz M. El resultado devuelto es una lista con dos elementos; el primero está formado por dos listas, la primera con los valores propios de M y la segunda con sus respectivas multiplicidades, el segundo elemento es una lista de listas de vectores propios, una por cada valor propio, pudiendo haber uno o más vectores propios en cada lista.
Tomando la matriz M como argumento, devuelve una lista de listas,
la primera de las cuales es la salida de eigenvalues y las
siguientes son los vectorios propios de la matriz asociados a los
valores propios correspondientes. Los vectores propios calculados son los
vectores propios por la derecha.
El nombre eivects es un sinónimo de eigenvectors.
El paquete eigen.mac se carga en memoria de forma automática cuando
se invocan eigenvalues o eigenvectors. Si eigen.mac no
está ya cargado, load ("eigen") lo carga. Tras la carga, todas las
funciones y variables del paquete estarán activas.
Las variables que afectan a esta función son:
nondiagonalizable toma el valor true o false dependiendo
de si la matriz no es diagonalizable o diagonalizable tras la ejecución de
eigenvectors.
hermitianmatrix, si vale true, entonces los vectores propios
degenerados de la matriz hermítica son ortogonalizados mediante el
algoritmo de Gram-Schmidt.
knowneigvals, si vale true, entonces el paquete eigen da por
sentado que los valores propios de la matriz son conocidos por el usuario y
almacenados en la variable global listeigvals. listeigvals debería
ser similar a la salida de eigenvalues.
La función algsys se utiliza aquí para calcular los vectores propios. A
veces, algsys no podrá calcular una solución. En algunos casos, será posible
simplificar los valores propios calculándolos en primer lugar con eigenvalues y
luego utilizando otras funciones para simplificarlos. Tras la simplificación,
eigenvectors podrá ser llamada otra vez con la variable knowneigvals
ajustada al valor true.
Véase también eigenvalues.
Ejemplos:
Una matriz con un único vector propio por cada valor propio.
(%i1) M1 : matrix ([11, -1], [1, 7]);
[ 11 - 1 ]
(%o1) [ ]
[ 1 7 ]
(%i2) [vals, vecs] : eigenvectors (M1);
(%o2) [[[9 - sqrt(3), sqrt(3) + 9], [1, 1]],
[[[1, sqrt(3) + 2]], [[1, 2 - sqrt(3)]]]]
(%i3) for i thru length (vals[1]) do disp (val[i] = vals[1][i],
mult[i] = vals[2][i], vec[i] = vecs[i]);
val = 9 - sqrt(3)
1
mult = 1
1
vec = [[1, sqrt(3) + 2]]
1
val = sqrt(3) + 9
2
mult = 1
2
vec = [[1, 2 - sqrt(3)]]
2
(%o3) done
Una matriz con dos vectores propios para uno de los valores propios.
(%i1) M1 : matrix ([0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 2, 0], [0, 0, 0, 2]);
[ 0 1 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%o1) [ ]
[ 0 0 2 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 2 ]
(%i2) [vals, vecs] : eigenvectors (M1);
(%o2) [[[0, 2], [2, 2]], [[[1, 0, 0, 0]],
[[0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]]]
(%i3) for i thru length (vals[1]) do disp (val[i] = vals[1][i],
mult[i] = vals[2][i], vec[i] = vecs[i]);
val = 0
1
mult = 2
1
vec = [[1, 0, 0, 0]]
1
val = 2
2
mult = 2
2
vec = [[0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
2
(%o3) done
Devuelve una matriz de orden m por n, con todos sus elementos
nulos, excepto el que ocupa la posición [i, j], que
es igual a x.
Devuelve una matriz de orden m por n, cuyos elementos son leidos de forma interactiva.
Si n es igual a m, Maxima pregunta por el tipo de
matriz (diagonal, simétrica, antisimétrica o general) y luego por
cada elemento. Cada respuesta introducida por el usuario debe terminar
con un punto y coma ; o con un signo de dólar $.
Si n y m no son iguales, Maxima pregunta por el valor de cada elemento.
Los elementos de la matriz pueden ser cualquier tipo de
expresión, que en todo caso será evaluada.
entermatrix evalúa sus argumentos.
(%i1) n: 3$
(%i2) m: entermatrix (n, n)$
Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric 3. Antisymmetric
4. General
Answer 1, 2, 3 or 4 :
1$
Row 1 Column 1:
(a+b)^n$
Row 2 Column 2:
(a+b)^(n+1)$
Row 3 Column 3:
(a+b)^(n+2)$
Matrix entered.
(%i3) m;
[ 3 ]
[ (b + a) 0 0 ]
[ ]
(%o3) [ 4 ]
[ 0 (b + a) 0 ]
[ ]
[ 5 ]
[ 0 0 (b + a) ]
Devuelve una matriz generada a partir de a, siendo a[i_1,j_1] el elemento superior izquierdo y a[i_2,j_2] el inferior derecho de la matriz.
Aquí a se declara como una arreglo (creado por array,
pero no por make_array), o un array no declarado, o una función array, o una
expresión lambda de dos argumentos.
(An array function is created like other functions with := or define,
but arguments are enclosed in square brackets instead of parentheses.)
Si se omite j_1, entonces se le asigna el valor i_1. Si tanto j_1 como i_1 se omiten, a las dos variables se le asigna el valor 1.
Si un elemento i,j del arreglo no está definido, se le asignará el elemento simbólico a[i,j].
(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1);
1
(%o1) h := ---------
i, j i + j - 1
(%i2) genmatrix (h, 3, 3);
[ 1 1 ]
[ 1 - - ]
[ 2 3 ]
[ ]
[ 1 1 1 ]
(%o2) [ - - - ]
[ 2 3 4 ]
[ ]
[ 1 1 1 ]
[ - - - ]
[ 3 4 5 ]
(%i3) array (a, fixnum, 2, 2);
(%o3) a
(%i4) a [1, 1] : %e;
(%o4) %e
(%i5) a [2, 2] : %pi;
(%o5) %pi
(%i6) genmatrix (a, 2, 2);
[ %e 0 ]
(%o6) [ ]
[ 0 %pi ]
(%i7) genmatrix (lambda ([i, j], j - i), 3, 3);
[ 0 1 2 ]
[ ]
(%o7) [ - 1 0 1 ]
[ ]
[ - 2 - 1 0 ]
(%i8) genmatrix (B, 2, 2);
[ B B ]
[ 1, 1 1, 2 ]
(%o8) [ ]
[ B B ]
[ 2, 1 2, 2 ]
Ejecuta el algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt sobre x,
que puede ser una matriz o una lista de listas. La función
gramschmidt no altera el valor de x.
El producto interno por defecto empleado en gramschmidt es
innerproduct, o F, si se ha hecho uso de esta opción.
Si x es una matriz, el algoritmo se aplica a las filas de x. Si x es una lista de listas, el algoritmo se aplica a las sublistas, las cuales deben tener el mismo número de miembros. En cualquier caso, el valor devuelto es una lista de listas, cuyas sublistas son ortogonales.
La función factor es invocada en cada paso del algoritmo para
simplificar resultados intermedios. Como consecuencia, el valor retornado
puede contener enteros factorizados.
El nombre gschmit es sinónimo de gramschmidt.
Es necesario cargar la función haciendo load ("eigen").
Ejemplo:
Algoritmo de Gram-Schmidt utilizando el producto interno por defecto.
(%i1) load ("eigen")$
(%i2) x: matrix ([1, 2, 3], [9, 18, 30], [12, 48, 60]);
[ 1 2 3 ]
[ ]
(%o2) [ 9 18 30 ]
[ ]
[ 12 48 60 ]
(%i3) y: gramschmidt (x);
2 2 4 3
3 3 3 5 2 3 2 3
(%o3) [[1, 2, 3], [- ---, - --, ---], [- ----, ----, 0]]
2 7 7 2 7 5 5
(%i4) map (innerproduct, [y[1], y[2], y[3]], [y[2], y[3], y[1]]);
(%o4) [0, 0, 0]
Algoritmo de Gram-Schmidt utilizando un producto interno especificado por el usuario.
(%i1) load ("eigen")$
(%i2) ip (f, g) := integrate (f * g, u, a, b);
(%o2) ip(f, g) := integrate(f g, u, a, b)
(%i3) y : gramschmidt ([1, sin(u), cos(u)], ip), a= -%pi/2, b=%pi/2;
%pi cos(u) - 2
(%o3) [1, sin(u), --------------]
%pi
(%i4) map (ip, [y[1], y[2], y[3]], [y[2], y[3], y[1]]), a= -%pi/2, b=%pi/2;
(%o4) [0, 0, 0]
Devuelve la matriz identidad de orden n.
Devuelve el producto interior o escalar de x por y, que deben ser listas de igual longitud, o ambas matrices columa o fila de igual longitud. El valor devuelto es conjugate (x) . y, donde . es el operador de multiplicación no conmutativa.
Es necesario cargar la función haciendo load ("eigen").
El nombre inprod es sinónimo de innerproduct.
Devuelve la inversa de la matriz M, calculada por el método del adjunto.
La implementación actual no es eficiente para matrices de orden grande.
Cuando detout vale true, el determinante se deja
fuera de la inversa a modo de factor escalar.
Los elementos de la matriz inversa no se expanden. Si M tiene elementos
polinómicos, se puede mejorar el aspecto del resultado haciendo
expand (invert (m)), detout.
Véase la descripción de ^^ (exponente no conmutativo) para
información sobre otro método para invertir matrices.
Devuelve una lista con todos los elementos de la matriz M.
Ejemplo:
(%i1) list_matrix_entries(matrix([a,b],[c,d])); (%o1) [a, b, c, d]
Valor por defecto: [
La variable lmxchar guarda el carácter a mostrar como delimitador izquierdo de la matriz.
Véase también rmxchar.
Ejemplo:
(%i1) lmxchar: "|"$
(%i2) matrix ([a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]);
| a b c ]
| ]
(%o2) | d e f ]
| ]
| g h i ]
Devuelve una matriz rectangular con las filas fila_1, ..., fila_n. Cada fila es una lista de expresiones. Todas las filas deben tener el mismo número de miembros.
Las operaciones + (suma), - (resta), * (multiplicación) y / (división), se llevan a cabo elemento a elemento cuando los operandos son dos matrices, un escalar y una matriz o una matriz con un escalar. La operación ^ (exponenciación, equivalente a **) se lleva cabo también elemento a elemento si los operandos son un escalr y una matriz o uma matriz y un escalar, pero no si los operandos son dos matrices.
El producto matricial se representa con el operador de multiplicación no conmutativa .. El correspondiente operador de exponenciación no conmutativa es ^^. Dada la matriz A, A.A = A^^2 y A^^-1 es la inversa de A, si existe.
Algunas variables controlan la simplificación de expresiones que incluyan estas operaciones: doallmxops, domxexpt, domxmxops, doscmxops y doscmxplus.
Hay otras opciones adicionales relacionadas con matrices:
lmxchar, rmxchar, ratmx, listarith, detout,
scalarmatrix y sparse.
Hay también algunas funciones que admiten matrices como argumentos o que devuelven resultados matriciales: eigenvalues, eigenvectors,
determinant,
charpoly, genmatrix, addcol, addrow,
copymatrix, transpose, echelon y rank.
Ejemplos:
(%i1) x: matrix ([17, 3], [-8, 11]);
[ 17 3 ]
(%o1) [ ]
[ - 8 11 ]
(%i2) y: matrix ([%pi, %e], [a, b]);
[ %pi %e ]
(%o2) [ ]
[ a b ]
(%i3) x + y;
[ %pi + 17 %e + 3 ]
(%o3) [ ]
[ a - 8 b + 11 ]
(%i4) x - y;
[ 17 - %pi 3 - %e ]
(%o4) [ ]
[ - a - 8 11 - b ]
(%i5) x * y;
[ 17 %pi 3 %e ]
(%o5) [ ]
[ - 8 a 11 b ]
(%i6) x / y;
[ 17 - 1 ]
[ --- 3 %e ]
[ %pi ]
(%o6) [ ]
[ 8 11 ]
[ - - -- ]
[ a b ]
(%i7) x ^ 3;
[ 4913 27 ]
(%o7) [ ]
[ - 512 1331 ]
(%i8) exp(y);
[ %pi %e ]
[ %e %e ]
(%o8) [ ]
[ a b ]
[ %e %e ]
(%i9) x ^ y;
[ %pi %e ]
[ ]
[ a b ]
[ 17 3 ]
(%o9) [ ]
[ - 8 11 ]
(%i10) x . y;
[ 3 a + 17 %pi 3 b + 17 %e ]
(%o10) [ ]
[ 11 a - 8 %pi 11 b - 8 %e ]
(%i11) y . x;
[ 17 %pi - 8 %e 3 %pi + 11 %e ]
(%o11) [ ]
[ 17 a - 8 b 11 b + 3 a ]
b^^m equivale a b^m.
(%i12) x ^^ 3;
[ 3833 1719 ]
(%o12) [ ]
[ - 4584 395 ]
(%i13) %e ^^ y;
[ %pi %e ]
[ %e %e ]
(%o13) [ ]
[ a b ]
[ %e %e ]
(%i14) x ^^ -1;
[ 11 3 ]
[ --- - --- ]
[ 211 211 ]
(%o14) [ ]
[ 8 17 ]
[ --- --- ]
[ 211 211 ]
(%i15) x . (x ^^ -1);
[ 1 0 ]
(%o15) [ ]
[ 0 1 ]
Devuelve una matriz con el elemento i,j igual a f(M[i,j]).
Véanse también map, fullmap, fullmapl y apply.
Devuelve true si expr es una matriz, en caso contrario false.
Valor por defecto: +
La variable matrix_element_add guarda el símbolo del operador a ejecutar en lugar de la suma en el producto matricial; a matrix_element_add se le puede asignar cualquier operador n-ario (esto es, una función que admite cualquier número de argumentos). El valor asignado puede ser el nombre de un operador encerrado entre apóstrofos, el nombre de una función o una expresión lambda.
Véanse también matrix_element_mult y matrix_element_transpose.
Ejemplo:
(%i1) matrix_element_add: "*"$
(%i2) matrix_element_mult: "^"$
(%i3) aa: matrix ([a, b, c], [d, e, f]);
[ a b c ]
(%o3) [ ]
[ d e f ]
(%i4) bb: matrix ([u, v, w], [x, y, z]);
[ u v w ]
(%o4) [ ]
[ x y z ]
(%i5) aa . transpose (bb);
[ u v w x y z ]
[ a b c a b c ]
(%o5) [ ]
[ u v w x y z ]
[ d e f d e f ]
Valor por defecto: *
La variable matrix_element_mult guarda el símbolo del operador a ejecutar en lugar de la multiplicación en el producto matricial; a matrix_element_mult se le puede asignar cualquier operador binario. El valor asignado puede ser el nombre de un operador encerrado entre apóstrofos, el nombre de una función o una expresión lambda.
El operador . puede ser una opción útil en determinados contextos.
Véanse también matrix_element_add y matrix_element_transpose.
Ejemplo:
(%i1) matrix_element_add: lambda ([[x]], sqrt (apply ("+", x)))$
(%i2) matrix_element_mult: lambda ([x, y], (x - y)^2)$
(%i3) [a, b, c] . [x, y, z];
2 2 2
(%o3) sqrt((c - z) + (b - y) + (a - x) )
(%i4) aa: matrix ([a, b, c], [d, e, f]);
[ a b c ]
(%o4) [ ]
[ d e f ]
(%i5) bb: matrix ([u, v, w], [x, y, z]);
[ u v w ]
(%o5) [ ]
[ x y z ]
(%i6) aa . transpose (bb);
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((c - w) + (b - v) + (a - u) ) ]
(%o6) Col 1 = [ ]
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((f - w) + (e - v) + (d - u) ) ]
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((c - z) + (b - y) + (a - x) ) ]
Col 2 = [ ]
[ 2 2 2 ]
[ sqrt((f - z) + (e - y) + (d - x) ) ]
Valor por defecto: false
La variable matrix_element_transpose es una operación que se aplica a cada elemento de una matriz a la que se le calcula la transpuesta. A matrix_element_mult se le puede asignar cualquier operador unitario. El valor asignado puede ser el nombre de un operador encerrador entre apóstrofos, el nombre de una función o una expresión lambda.
Cuando matrix_element_transpose es igual a transpose, la función transpose se aplica a cada elemento. Cuando matrix_element_transpose es igual a nonscalars, la función transpose se aplica a todos los elementos no escalares. Si alguno de los elementos es un átomo, la opción nonscalars se aplica
transpose sólo si el átomo se declara no escalar, mientras que la opción transpose siempre aplica transpose.
La opción por defecto, false, significa que no se aplica ninguna operación.
Véanse también matrix_element_add y matrix_element_mult.
Ejemplos:
(%i1) declare (a, nonscalar)$
(%i2) transpose ([a, b]);
[ transpose(a) ]
(%o2) [ ]
[ b ]
(%i3) matrix_element_transpose: nonscalars$
(%i4) transpose ([a, b]);
[ transpose(a) ]
(%o4) [ ]
[ b ]
(%i5) matrix_element_transpose: transpose$
(%i6) transpose ([a, b]);
[ transpose(a) ]
(%o6) [ ]
[ transpose(b) ]
(%i7) matrix_element_transpose:
lambda ([x], realpart(x) - %i*imagpart(x))$
(%i8) m: matrix ([1 + 5*%i, 3 - 2*%i], [7*%i, 11]);
[ 5 %i + 1 3 - 2 %i ]
(%o8) [ ]
[ 7 %i 11 ]
(%i9) transpose (m);
[ 1 - 5 %i - 7 %i ]
(%o9) [ ]
[ 2 %i + 3 11 ]
Devuelve la traza (esto es, la suma de los elementos de la diagonal principal) de la matriz cuadrada M.
Para disponer de esta función es necesario cargar el paquete haciendo load ("nchrpl").
Devuelve el menor (i, j) de la matriz M. Esto es, la propia matriz M, una vez extraídas la fila i y la columna j.
Devuelve el polinomio característico de la matriz M respecto de la variable x. Es una alternativa a la función charpoly de Maxima.
La función ncharpoly opera calculando trazas de las potencias de la matriz dada, que son iguales a las sumas de las potencias de las raíces del polinomio característico. A partir de estas cantidades se pueden calcular las funciones simétricas de las raíces, que no son otra cosa sino los coeficientes del polinomio característico. La función charpoly opera calculando el determinante de by x * ident [n] - a. La función ncharpoly es m’as eficiente en el caso de matrices grandes y densas.
Para disponer de esta función es necesario cargar el paquete haciendo load ("nchrpl").
Calcula el determinante de la matriz M por el algoritmo del árbol menor
de Johnson-Gentleman. El resultado devuelto por newdet tiene formato CRE.
Calcula la permanente de la matriz M por el algoritmo del árbol menor de
Johnson-Gentleman. La permanente es como un determinante pero sin cambios de signo.
El resultado devuelto por permanent tiene formato CRE.
Véase también newdet.
Calcula el rango de la matriz M. Esto es, el orden del mayor subdeterminante no singular de M.
La función rango puede retornar una respuesta errónea si no detecta que un elemento de la matriz equivalente a cero lo es.
Valor por defecto: false
Si ratmx vale false, el determinante y la suma, resta y producto matriciales se calculan cuando las matrices se expresan en términos de sus elementos, pero no se calcula la inversión matricial en su representación general.
Si ratmx vale true, las cuatro operaciones citadas más arriba se calculan en el formato CRE y el resultado de la matriz inversa también se da en formato CRE. Esto puede hacer que se expandan los elementos de la matriz, dependiendo del valor de ratfac, lo que quizás no sea siempre deseable.
Devuelve la i-ésima fila de la matriz M. El valor que devuelve tiene formato de matriz.
Valor por defecto: ]
La variable rmxchar es el carácter que se dibuja al lado derecho de una matriz.
Véase también lmxchar.
Valor por defecto: true
Si scalarmatrixp vale true, entonces siempre que una matriz 1 x 1 se produce como resultado del cálculo del producto no conmutativo de matrices se cambia al formato escalar.
Si scalarmatrixp vale all, entonces todas las matrices 1 x 1 se simplifican a escalares.
Si scalarmatrixp vale false, las matrices 1 x 1 no se convierten en escalares.
Asigna el valor x al (i, j)-ésimo elemento de la matriz M y devuelve la matriz actualizada.
La llamada M [i, j]: x hace lo mismo, pero devuelve x en lugar de M.
La función similaritytransform calcula la transformada de similitud de la matriz M. Devuelve una lista que es la salida de la instrucción uniteigenvectors. Además, si la variable nondiagonalizable vale false entonces se calculan dos matrices globales leftmatrix y rightmatrix. Estas matrices tienen la propiedad de que leftmatrix . M . rightmatrix es una matriz diagonal con los valores propios de M en su diagonal. Si nondiagonalizable vale true entonces no se calculan estas matrices.
Si la variable hermitianmatrix vale true entonces leftmatrix es el conjugado complejo de la transpuesta de rightmatrix. En otro caso leftmatrix es la inversa de rightmatrix.
Las columnas de la matriz rightmatrix son los vectores propios de M. Las otras variables (véanse eigenvalues y eigenvectors) tienen el mismo efecto, puesto que similaritytransform llama a las otras funciones del paquete para poder formar rightmatrix.
Estas funciones se cargan con load ("eigen").
El nombre simtran es sinónimo de similaritytransform.
Valor por defecto: false
Si sparse vale true y si ratmx vale true, entonces determinant
utilizará rutinas especiales para calcular determinantes dispersos.
Devuelve una nueva matriz formada a partir de la matriz M pero cuyas filas i_1, ..., i_m y columnas j_1, ..., j_n han sido eliminadas.
Calcula la transpuesta de M.
Si M es una matriz, el valor devuelto es otra matriz N tal que N[i,j] = M[j,i].
Si M es una lista, el valor devuelto es una matriz N de length (m) filas y 1 columna, tal que N[i,1] = M[i].
En caso de no ser M ni matriz ni lista, se devuelve la
expresión nominal 'transpose (M).
Devuelve la forma triangular superior de la matriz M, obtenida por eliminación gaussiana.
El resultado es el mismo que el devuelto por echelon, con la salvedad de que el primer elemento no nulo de cada fila no se normaliza a 1.
Las funciones lu_factor y cholesky también triangularizan matrices.
(%i1) M: matrix ([3, 7, aa, bb], [-1, 8, 5, 2], [9, 2, 11, 4]);
[ 3 7 aa bb ]
[ ]
(%o1) [ - 1 8 5 2 ]
[ ]
[ 9 2 11 4 ]
(%i2) triangularize (M);
[ - 1 8 5 2 ]
[ ]
(%o2) [ 0 - 74 - 56 - 22 ]
[ ]
[ 0 0 626 - 74 aa 238 - 74 bb ]
Calcula los vectores propios unitarios de la matriz M. El valor que devuelve es una lista de listas, la primera de las cuales es la salida de la función eigenvalues y el resto de sublistas son los vectores propios unitarios de la matriz correspondiente a esos valores propios, respectivamente.
Las variables citadas en la descripción de la función eigenvectors tienen los mismos efectos en uniteigenvectors.
Si knowneigvects vale true, el paquete eigen da por supuesto que el usuario conoce los vectores propios de la matriz y que están guardados en la variable global listeigvects, en tal caso el contenido de listeigvects debe ser una lista de estructura similar a la que devuelve la función eigenvectors.
Si knowneigvects vale true y la lista de vectores propios está en la variable listeigvects, el valor de la variable nondiagonalizable puede que no sea el correcto. Si tal es el caso, debe asignarsele el valor correcto.
Para utilizar esta fucnión es necesario cargarla haciendo load ("eigen").
El nombre ueivects es sinónimo de uniteigenvectors.
Devuelve x/norm(x), esto es, el vector unitario de igual dirección y sentido que x.
load ("eigen") loads this function.
Para utilizar esta fucnión es necesario cargarla haciendo load ("eigen").
El nombre uvect es sinónimo de unitvector.
Devuelve el vector potencial de un vector rotacional en el sistema
de coordenadas actual.
potentialzeroloc tiene un rol similar al de potential,
pero el orden del miembro izquierdo de las ecuaciones debe ser una
permutación cíclica de las coordenadas.
Realiza simplificaciones y expansiones de acuerdo con los valores de las siguientes variables globales:
expandall, expanddot, expanddotplus, expandcross, expandcrossplus,
expandcrosscross, expandgrad, expandgradplus, expandgradprod,
expanddiv, expanddivplus, expanddivprod, expandcurl, expandcurlplus,
expandcurlcurl, expandlaplacian, expandlaplacianplus y expandlaplacianprod.
Todas estas variables tienen por defecto el valor false. El sufijo plus se refiere al uso de la suma o la distributividad. El sufijo prod se refiere a la expansión de operadores que realizan cualquier tipo de producto.
expandcrosscrossSimplifica p ~ (q ~ r) en (p . r)*q - (p . q)*r.
expandcurlcurlSimplifica curl curl p en grad div p + div grad p.
expandlaplaciantodivgradSimplifica laplacian p en div grad p.
expandcrossActiva expandcrossplus y expandcrosscross.
expandplusActiva expanddotplus, expandcrossplus, expandgradplus,
expanddivplus, expandcurlplus y expandlaplacianplus.
expandprodActiva expandgradprod, expanddivprod y expandlaplacianprod.
Estas variables están declaradas como evflag.
Devuelve una matriz rectangular m por n con todos sus elementos iguales a cero.
Los símbolos [ y ] marcan el comienzo y final, respectivamente, de una lista.
Los símbolos [ y ] también se utilizan para indicar los subíndices de los elementos de una lista, arreglo o función arreglo.
Ejemplos:
(%i1) x: [a, b, c];
(%o1) [a, b, c]
(%i2) x[3];
(%o2) c
(%i3) array (y, fixnum, 3);
(%o3) y
(%i4) y[2]: %pi;
(%o4) %pi
(%i5) y[2];
(%o5) %pi
(%i6) z['foo]: 'bar;
(%o6) bar
(%i7) z['foo];
(%o7) bar
(%i8) g[k] := 1/(k^2+1);
1
(%o8) g := ------
k 2
k + 1
(%i9) g[10];
1
(%o9) ---
101
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