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Maxima implementa a manipulação de tensores simbólicos d dois tipos distintos:
manipulação de componentes de tensores (pacote ctensor) e manipulação de tensores indiciais (pacote itensor).
Note bem: Por favor veja a nota sobre ’nova notação de tensor’ abaixo.
Manipulação de componentes de tensores significa que objectos do tipo
tensor geométrico são representados como arrays ou matrizes. Operações com tensores tais com
contração ou diferenciação covariante são realizadas
sobre índices (que ocorrem exactamente duas vezes) repetidos com declarações do.
Isto é, se executa explicitamente operações sobre as componentes apropriadas do
tensor armazenadas em um array ou uma matriz.
Manipulação tensorial de índice é implementada através da representação de tensores como funções e suas covariantes, contravariantes e índices de derivação. Operações com tensores como contração ou diferenciação covariante são executadas através de manipulação dos índices em si mesmos em lugar das componentes para as quais eles correspondem.
Esses dois métodos aproximam-se do tratamento de processos diferenciais, algébricos e analíticos no contexto da geometria de Riemannian possuem várias vantagens e desvantagens as quais se revelam por si mesmas somente apesar da natureza particular e dificuldade dos problemas de utilizador. Todavia, se pode ter em mente as seguintes características das duas implementações:
As representações de tensores e de operações com tensores explicitamente em
termos de seus componntes tornam o pacote ctensor fácil de usar. Especificação da
métrica e o cálculo de tensores induzidos e invariantes
é directo. Embora todas a capacidade de simplificação poderosa do
Maxima está em manusear, uma métrica complexa com intrincada dependência funcional
e de coordenadas pode facilmente conduzir a expressões cujo tamanho é
excessivo e cuja estrutura está escondida. Adicionalmente, muitos cálculos
envolvem expressões intermédias cujo crescimento fazem com que os programas
terminem antes de serem completados. Através da experiência, um utilizador pode evitar
muitas dessas dificuldade.
O motivo de caminhos especiais através dos quais tensores e operações de tensores
são representados em termos de operações simbólicas sobre seus índices,
expressões cujas representação de componentes podem ser
não gerenciaveis da forma comum podem algumas vezes serem grandemente simplificadas através do uso das rotinas
especiais para objectos simétricos em itensor. Nesse caminho a estrutura
de uma expressão grande pode ser mais transparente. Por outro lado, o motivo
da representação indicial especial em itensor, faz com que em alguns casos o
utilizador possa encontrar dificuldade com a especificação da métrica, definição
de função, e a avaliação de objectos "indexados" diferenciados.
Até agora, o pacote itensor no Maxima tinha usado uma notação que algumas vezes
conduzia a ordenação incorrecta de índices. Considere o seguinte, por exemplo:
(%i2) imetric(g);
(%o2) done
(%i3) ishow(g([],[j,k])*g([],[i,l])*a([i,j],[]))$
i l j k
(%t3) g g a
i j
(%i4) ishow(contract(%))$
k l
(%t4) a
O resultado está incorrecto a menos que ocorra ser a um tensor simétrico.
A razão para isso é que embora itensor mantenha correctamente
a ordem dentro do conjunto de índices covariantes e contravariantes, assim que um
índice é incrementado ou decrementado, sua posição relativa para o outro conjunto de
índices é perdida.
Para evitar esse problema, uma nova notação tem sido desenvolvida que mantém total
compatibilidade com a notação existente e pode ser usada intercambiavelmente. Nessa
notação, índices contravariantes são inseridos na posição
apropriada na lista de índices covariantes, mas com um sinal de menos colocado antes.
Funções como contract e ishow estão agora consciente dessa
nova notação de índice e podem processar tensores apropriadamente.
Nessa nova notação, o exemplo anterior retorna um resultado correcto:
(%i5) ishow(g([-j,-k],[])*g([-i,-l],[])*a([i,j],[]))$
i l j k
(%t5) g a g
i j
(%i6) ishow(contract(%))$
l k
(%t6) a
Presentemente, o único código que faz uso dessa notação é a função
lc2kdt. Através dessa notação, a função lc2kdt encontra com êxito resultados consistentes como
a aplicação do tensor métrico para resolver os símbolos de Levi-Civita sem reordenar
para índices numéricos.
Uma vez que esse código é um tipo novo, provavelmente contém erros. Enquanto esse tipo novo não tiver sido testado para garantir que ele não interrompe nada usando a "antiga" notação de tensor, existe uma considerável chance que "novos" tensores irão falhar em interoperar com certas funções ou recursos. Essas falhas serão corrigidas à medida que forem encontradas... até então, seja cuidadoso!
o pacote de manipulação de tensores indiciais pode ser chamado através de
load("itensor"). Demonstações estão também disponíveis: tente demo(tensor).
Em itensor um tensor é representado como um "objecto indexado" . Um "objecto indexado" é uma
função de 3 grupos de índices os quais representam o covariante,
o contravariante e o índice de derivação. Os índices covariantes são
especificados através de uma lista com o primeiro argumento para o objecto indexado, e
os índices contravariantes através de uma lista como segundo argumento. Se o
objecto indexado carece de algum desses grupos de índices então a lista
vazia [] é fornecida como o argumento correspondente. Dessa forma, g([a,b],[c])
representa um objecto indexado chamado g o qual tem dois índices covariantes
(a,b), um índice contravariante (c) e não possui índices de derivação.
Os índices de derivação, se estiverem presente, são anexados ao final como
argumentos adicionais para a função numérica representando o tensor.
Eles podem ser explicitamente especificado pelo utilizador ou serem criados no
processo de diferenciação com relação a alguma variável coordenada.
Uma vez que diferenciação ordinária é comutativa, os índices de derivação
são ordenados alfanumericamente, a menos que iframe_flag seja escolhida para true,
indicando que um referencial métrico está a ser usado. Essa ordenação canónica torna
possível para Maxima reconhecer que, por exemplo, t([a],[b],i,j) é
o mesmo que t([a],[b],j,i). Diferenciação de um objecto indexado com
relação a alguma coordenada cujos índices não aparecem como um argumento
para o objecto indexado podem normalmente retornar zero. Isso é porque
Maxima pode não saber que o tensor representado através do objecto
indexado possívelmente depende implicitamente da respectiva coordenada. Pela
modificação da função existente no Maxima, diff, em itensor, Maxima sabe
assumir que todos os objectos indexados dependem de qualquer variável de
diferenciação a menos que seja declarado de outra forma. Isso torna possível para
a convençào de somatório ser extendida para índices derivativos. Pode
ser verificado que itensor não possui a compatibilidade de
incrementar índices derivativos, e então eles são sempre tratados como
covariantes.
As seguintes funções estão disponíveis no pacote tensor para
manipulação de objectos. Actualmente, com relação às
rotinas de simplificação, é assumido que objectos indexados não
possuem por padrão propriedades simétricas. Isso pode ser modificado através
da escolha da variável allsym[false] para true, o que irá
resultar no tratamento de todos os objectos indexados completamente simétricos em suas
listas de índices covariantes e simétricos em suas listas de
índices contravariantes.
O pacote itensor geralmente trata tensores como objectos opacos. Equações
tensoriais são manipuladas baseadas em regras algébricas, especificamente simetria
e regras de contração. Adicionalmente, o pacote itensor não entende
diferenciação covariante, curvatura, e torsão. Cálculos podem ser
executados relativamente a um métrica de referenciais de movimento, dependendo da escolha para
a variável iframe_flag.
Uma sessão demonstrativa abaixo mostra como chamar o pacote itensor,
especificando o nome da métrica, e executando alguns cálculos simples.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2) done
(%i3) components(g([i,j],[]),p([i,j],[])*e([],[]))$
(%i4) ishow(g([k,l],[]))$
(%t4) e p
k l
(%i5) ishow(diff(v([i],[]),t))$
(%t5) 0
(%i6) depends(v,t);
(%o6) [v(t)]
(%i7) ishow(diff(v([i],[]),t))$
d
(%t7) -- (v )
dt i
(%i8) ishow(idiff(v([i],[]),j))$
(%t8) v
i,j
(%i9) ishow(extdiff(v([i],[]),j))$
(%t9) v - v
j,i i,j
-----------
2
(%i10) ishow(liediff(v,w([i],[])))$
%3 %3
(%t10) v w + v w
i,%3 ,i %3
(%i11) ishow(covdiff(v([i],[]),j))$
%4
(%t11) v - v ichr2
i,j %4 i j
(%i12) ishow(ev(%,ichr2))$
%4 %5
(%t12) v - g v (e p + e p - e p - e p
i,j %4 j %5,i ,i j %5 i j,%5 ,%5 i j
+ e p + e p )/2
i %5,j ,j i %5
(%i13) iframe_flag:true;
(%o13) true
(%i14) ishow(covdiff(v([i],[]),j))$
%6
(%t14) v - v icc2
i,j %6 i j
(%i15) ishow(ev(%,icc2))$
%6
(%t15) v - v ifc2
i,j %6 i j
(%i16) ishow(radcan(ev(%,ifc2,ifc1)))$
%6 %8 %6 %8
(%t16) - (ifg v ifb + ifg v ifb - 2 v
%6 j %8 i %6 i j %8 i,j
%6 %8
- ifg v ifb )/2
%6 %8 i j
(%i17) ishow(canform(s([i,j],[])-s([j,i])))$
(%t17) s - s
i j j i
(%i18) decsym(s,2,0,[sym(all)],[]);
(%o18) done
(%i19) ishow(canform(s([i,j],[])-s([j,i])))$
(%t19) 0
(%i20) ishow(canform(a([i,j],[])+a([j,i])))$
(%t20) a + a
j i i j
(%i21) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o21) done
(%i22) ishow(canform(a([i,j],[])+a([j,i])))$
(%t22) 0
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ctensorÉ uma função que, através da linha de comando, permite criar um objecto
indexado chamado nome com qualquer número de índices de tensores e
derivativos. Ou um índice simples ou uma lista de índices (às quais podem ser
nulas) são entradas aceitáveis (veja o exemplo sob covdiff).
Irá mudar o nome de todos os objectos indexados chamados antigo para novo
em expr. antigo pode ser ou um símbolo ou uma lista da forma
[nome, m, n] nesse caso somente esses objectos indexados chamados
nome com índice covariante m e índice contravariante n serão
renomeados para novo.
Lista todos os tensores em uma expressão tensorial, incluindo seus índices. E.g.,
(%i6) ishow(a([i,j],[k])*b([u],[],v)+c([x,y],[])*d([],[])*e)$
k
(%t6) d e c + a b
x y i j u,v
(%i7) ishow(listoftens(%))$
k
(%t7) [a , b , c , d]
i j u,v x y
Mostra expr com os objectos indexados tendo seus índices covariantes como subscritos e índices contravariantes como sobrescritos. Os índices derivativos são mostrados como subscritos, separados dos índices covariantes por uma vírgula (veja os exemplos através desse documento).
Retorna uma lista de dois elementos. O primeiro é uma lista de índices livres em expr (aqueles que ocorrem somente uma vez). O segundo é uma lista de indices que ocorrem exactamente duas vezes em expr (dummy) como demonstra o seguinte exemplo.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(a([i,j],[k,l],m,n)*b([k,o],[j,m,p],q,r))$
k l j m p
(%t2) a b
i j,m n k o,q r
(%i3) indices(%);
(%o3) [[l, p, i, n, o, q, r], [k, j, m]]
Um produto de tensores contendo o mesmo índice mais que duas vezes é sintaticamente
ilegal. indices tenta lidar com essas expressões de uma
forma razoável; todavia, quando indices é chamada para operar sobre tal uma
expressão ilegal, seu comportamento pode ser considerado indefinido.
Retorna uma expressão equivalente para expr mas com índices que ocorrem exactamente duas vezes
em cada termo alterado do conjunto [%1, %2,...], se o segundo argumento
opcional for omitido. De outra forma, os índices que ocorrem exactamente duas vezes são indexados
começando no valor de contador. Cada índice que ocorre exactamente duas vezes em um produto
será diferente. Para uma adição, rename irá operar sobre cada termo na
a adição zerando o contador com cada termo. Nesse caminho rename pode
servir como um simplificador tensorial. Adicionalmente, os índices serão
ordenados alfanumericamente (se allsym for true) com relação a
índices covariantes ou contravariantes dependendo do valor de flipflag.
Se flipflag for false então os índices serão renomeados conforme
a ordem dos índices contravariantes. Se flipflag for true
a renomeação ocorrerá conforme a ordem dos índices
covariantes. Isso muitas vezes ajuda que o efeito combinado dos dois restantes sejam
reduzidos a uma expressão de valor um ou mais que um por si mesma.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) allsym:true;
(%o2) true
(%i3) g([],[%4,%5])*g([],[%6,%7])*ichr2([%1,%4],[%3])*
ichr2([%2,%3],[u])*ichr2([%5,%6],[%1])*ichr2([%7,r],[%2])-
g([],[%4,%5])*g([],[%6,%7])*ichr2([%1,%2],[u])*
ichr2([%3,%5],[%1])*ichr2([%4,%6],[%3])*ichr2([%7,r],[%2]),noeval$
(%i4) expr:ishow(%)$
%4 %5 %6 %7 %3 u %1 %2
(%t4) g g ichr2 ichr2 ichr2 ichr2
%1 %4 %2 %3 %5 %6 %7 r
%4 %5 %6 %7 u %1 %3 %2
- g g ichr2 ichr2 ichr2 ichr2
%1 %2 %3 %5 %4 %6 %7 r
(%i5) flipflag:true;
(%o5) true
(%i6) ishow(rename(expr))$
%2 %5 %6 %7 %4 u %1 %3
(%t6) g g ichr2 ichr2 ichr2 ichr2
%1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 r
%4 %5 %6 %7 u %1 %3 %2
- g g ichr2 ichr2 ichr2 ichr2
%1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 r
(%i7) flipflag:false;
(%o7) false
(%i8) rename(%th(2));
(%o8) 0
(%i9) ishow(rename(expr))$
%1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 u
(%t9) g g ichr2 ichr2 ichr2 ichr2
%1 %6 %2 %3 %4 r %5 %7
%1 %2 %3 %4 %6 %5 %7 u
- g g ichr2 ichr2 ichr2 ichr2
%1 %3 %2 %6 %4 r %5 %7
Valor por omissão: false. Se false então os índices irão ser
renomeados conforme a ordem dos índices contravariantes,
de outra forma serão ordenados conforme a ordem dos índices covariantes.
Se flipflag for false então rename forma uma lista
de índices contravariantes na ordem em que forem encontrados da esquerda para a direita
(se true então de índices contravariantes). O primeiro índice
que ocorre exactamente duas vezes na lista é renomeado para %1, o seguinte para %2, etc.
Então a ordenação ocorre após a ocorrência do rename (veja o exemplo
sob rename).
Dado tensor_1 a propriedade que a
contração de um produto do tensor_1 e do tensor_2 resulta em tensor_3
com os índices apropriados. Se somente um argumento, tensor_1, for
dado, então a contração do produto de tensor_1 com qualquer objecto
indexado tendo os índices apropriados (digamos my_tensor) irá retornar como resultado um
objecto indexado com aquele nome, i.e. my_tensor, e com uma nova escolha de
índices refletindo as contrações executadas.
Por exemplo, se imetric:g, então defcon(g) irá implementar o
incremento e decremento de índices através da contração com o tensor
métrico.
Mais de uma defcon pode ser dada para o mesmo objecto indexado; o
último fornecido que for aplicado a uma contração particular será
usado.
contractions é uma lista de objectos indexados que tenham fornecido
propriedades de contrações com defcon.
Remove todas as propriedades de contração
de tensor_1, ..., tensor_n). remcon(all) remove todas as propriedades de
contração de todos os objectos indexados.
Realiza contrações tensoriais em expr a qual pode ser qualquer
combinação de adições e produtos. Essa função usa a informação
dada para a função defcon. Para melhores resultados, expr
pode ser completamente expandida. ratexpand é o meio mais rápido para expandir
produtos e expoentes de adições se não existirem variáveis nos denominadores
dos termos. O comutador gcd pode ser false se cancelamentos de
máximo divisor comum forem desnecessários.
Deve ser executada antes de atribuir componentes para um tensor para o qual
um valor interno já existe como com ichr1, ichr2,
icurvature. Veja o exemplo sob icurvature.
Permite que se atribua um valor indicial a uma expressão
expr dando os valores das componentes do tensor. Esses
são automaticamente substituídos para o tensor mesmo que isso ocorra com
todos os seus índices. O tensor deve ser da forma t([...],[...])
onde qualquer lista pode ser vazia. expr pode ser qualquer expressão indexada
envolvendo outros objectos com os mesmos índices livres que tensor. Quando
usada para atribuir valores a um tensor métrico no qual as componentes
possuem índices que ocorrem exactamente duas vezes se deve ser cuidadoso para definir esses índices de forma a
evitar a geração de índices que ocorrem exactamente duas vezes e que são múltiplos. a remoção dessas
atribuições é dada para a função remcomps.
É importante ter em mente que components cuida somente da
valência de um tensor, e que ignora completamente qualquer ordenação particular de índices. Dessa forma
atribuindo componentes a, digamos, x([i,-j],[]), x([-j,i],[]), ou
x([i],[j]) todas essas atribuições produzem o mesmo resultado, a saber componentes sendo
atribuidas a um tensor chamado x com valência (1,1).
Componentes podem ser atribuidas a uma expressão indexada por quatro caminhos, dois
dos quais envolvem o uso do comando components:
1) Como uma expressão indexada. Por exemplo:
(%i2) components(g([],[i,j]),e([],[i])*p([],[j]))$
(%i3) ishow(g([],[i,j]))$
i j
(%t3) e p
2) Como uma matriz:
(%i6) components(g([i,j],[]),lg);
(%o6) done
(%i7) ishow(g([i,j],[]))$
(%t7) g
i j
(%i8) g([3,3],[]);
(%o8) 1
(%i9) g([4,4],[]);
(%o9) - 1
3) Como uma função. Pode usar uma função Maxima para especificar as
componentes de um tensor baseado nesses índices. Por exemplo, os seguintes
códigos atribuem kdelta a h se h tiver o mesmo número de
índices covariantes e índices contravariantes e nenhum índice derivativo, e
atribui kdelta a g caso as condições anteriores não sejam atendidas:
(%i4) h(l1,l2,[l3]):=if length(l1)=length(l2) and length(l3)=0
then kdelta(l1,l2) else apply(g,append([l1,l2], l3))$
(%i5) ishow(h([i],[j]))$
j
(%t5) kdelta
i
(%i6) ishow(h([i,j],[k],l))$
k
(%t6) g
i j,l
4) Usando a compatibilidade dos modelos de coincidência do Maxima, especificamente os
comandos defrule e applyb1:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) matchdeclare(l1,listp);
(%o2) done
(%i3) defrule(r1,m(l1,[]),(i1:idummy(),
g([l1[1],l1[2]],[])*q([i1],[])*e([],[i1])))$
(%i4) defrule(r2,m([],l1),(i1:idummy(),
w([],[l1[1],l1[2]])*e([i1],[])*q([],[i1])))$
(%i5) ishow(m([i,n],[])*m([],[i,m]))$
i m
(%t5) m m
i n
(%i6) ishow(rename(applyb1(%,r1,r2)))$
%1 %2 %3 m
(%t6) e q w q e g
%1 %2 %3 n
Desassocia todos os valores de tensor que foram atribuídos com a
função components.
Mostra atribuições de componentes de um tensor, feitas usando o comando
components. Essa função pode ser particularmente útil quando uma matriz é atribuída
a um tensor indicial usando components, como demonstrado através do
seguinte exemplo:
(%i1) load("ctensor");
(%o1) /share/tensor/ctensor.mac
(%i2) load("itensor");
(%o2) /share/tensor/itensor.lisp
(%i3) lg:matrix([sqrt(r/(r-2*m)),0,0,0],[0,r,0,0],
[0,0,sin(theta)*r,0],[0,0,0,sqrt((r-2*m)/r)]);
[ r ]
[ sqrt(-------) 0 0 0 ]
[ r - 2 m ]
[ ]
[ 0 r 0 0 ]
(%o3) [ ]
[ 0 0 r sin(theta) 0 ]
[ ]
[ r - 2 m ]
[ 0 0 0 sqrt(-------) ]
[ r ]
(%i4) components(g([i,j],[]),lg);
(%o4) done
(%i5) showcomps(g([i,j],[]));
[ r ]
[ sqrt(-------) 0 0 0 ]
[ r - 2 m ]
[ ]
[ 0 r 0 0 ]
(%t5) g = [ ]
i j [ 0 0 r sin(theta) 0 ]
[ ]
[ r - 2 m ]
[ 0 0 0 sqrt(-------) ]
[ r ]
(%o5) false
O comando showcomps pode também mostrar componentes de um tensor de
categoria maior que 2.
Incrementos icounter e retorno como seu valor um índice da forma
%n onde n é um inteiro positivo. Isso garante que índices que ocorrem exactamente duas vezes
e que são necessários na formação de expressões não irão conflitar com índices
que já estiverem sendo usados (veja o exemplo sob indices).
Valor por omissão: %
É o prefixo para índices que ocorrem exactamente duas vezes (veja o exemplo sob índices indices).
Valor por omissão: 1
Determina o sufixo numérico a ser usado na
geração do próximo índice que ocorre exactamente duas vezes no pacote tensor. O prefixo é
determinado através da opção idummy (padrão: %).
é a função delta generalizada de Kronecker definida no
pacote itensor com L1 a lista de índices covariantes e L2
a lista de índices contravariantes. kdelta([i],[j]) retorna o delta de
Kronecker comum. O comando ev(expr,kdelta) faz com que a avaliação de
uma expressão contendo kdelta([],[]) se dê para a dimensão de
multiplicação.
No que conduzir a um abuso dessa notação, itensor também permite
kdelta ter 2 covariantes e nenhum contravariante, ou 2 contravariantes
e nenhum índice covariante, com efeito fornecendo uma compatibilidade para "matriz unitária" covariante ou
contravariante. Isso é estritamente considerado um recurso de programação e não significa
implicar que kdelta([i,j],[]) seja um objecto tensorial válido.
Delta de Kronecker simetrizado, usado em alguns cálculos. Por exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) kdelta([1,2],[2,1]);
(%o2) - 1
(%i3) kdels([1,2],[2,1]);
(%o3) 1
(%i4) ishow(kdelta([a,b],[c,d]))$
c d d c
(%t4) kdelta kdelta - kdelta kdelta
a b a b
(%i4) ishow(kdels([a,b],[c,d]))$
c d d c
(%t4) kdelta kdelta + kdelta kdelta
a b a b
é o tensor de permutação (ou de Levi-Civita) que retorna 1 se a lista L consistir de uma permutação par de inteiros, -1 se isso consistir de uma permutação ímpar, e 0 se alguns índices em L forem repetidos.
Simplifica expressões contendo os símbolos de Levi-Civita, convertendo esses
para expressões delta de Kronecker quando possível. A principal diferença entre
essa função e simplesmente avaliar os simbolos de Levi-Civita é que a avaliação
directa muitas vezes resulta em expressões Kronecker contendo índices
numéricos. Isso é muitas vezes indesejável como na prevenção de simplificação adicional.
A função lc2kdt evita esse problema, retornando expressões que
são mais facilmente simplificadas com rename ou contract.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) expr:ishow('levi_civita([],[i,j])*'levi_civita([k,l],[])*a([j],[k]))$
i j k
(%t2) levi_civita a levi_civita
j k l
(%i3) ishow(ev(expr,levi_civita))$
i j k 1 2
(%t3) kdelta a kdelta
1 2 j k l
(%i4) ishow(ev(%,kdelta))$
i j j i k
(%t4) (kdelta kdelta - kdelta kdelta ) a
1 2 1 2 j
1 2 2 1
(kdelta kdelta - kdelta kdelta )
k l k l
(%i5) ishow(lc2kdt(expr))$
k i j k j i
(%t5) a kdelta kdelta - a kdelta kdelta
j k l j k l
(%i6) ishow(contract(expand(%)))$
i i
(%t6) a - a kdelta
l l
A função lc2kdt algumas vezes faz uso de tensores métricos.
Se o tensor métrico não tiver sido definido previamente com imetric,
isso resulta em um erro.
(%i7) expr:ishow('levi_civita([],[i,j])*'levi_civita([],[k,l])*a([j,k],[]))$
i j k l
(%t7) levi_civita levi_civita a
j k
(%i8) ishow(lc2kdt(expr))$
Maxima encountered a Lisp error:
Error in $IMETRIC [or a callee]:
$IMETRIC [or a callee] requires less than two arguments.
Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i9) imetric(g);
(%o9) done
(%i10) ishow(lc2kdt(expr))$
%3 i k %4 j l %3 i l %4 j k
(%t10) (g kdelta g kdelta - g kdelta g kdelta ) a
%3 %4 %3 %4 j k
(%i11) ishow(contract(expand(%)))$
l i l i
(%t11) a - a g
Regra de simplificação usada para expressões contendo símbolos não avaliados de
Levi-Civita (levi_civita). Juntamente com lc_u, pode ser usada para simplificar
muitas expressões mais eficientemente que a avaliação de levi_civita.
Por exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) el1:ishow('levi_civita([i,j,k],[])*a([],[i])*a([],[j]))$
i j
(%t2) a a levi_civita
i j k
(%i3) el2:ishow('levi_civita([],[i,j,k])*a([i])*a([j]))$
i j k
(%t3) levi_civita a a
i j
(%i4) ishow(canform(contract(expand(applyb1(el1,lc_l,lc_u)))))$
(%t4) 0
(%i5) ishow(canform(contract(expand(applyb1(el2,lc_l,lc_u)))))$
(%t5) 0
Regra de simplificação usada para expressões contendo símbolos não avaliados de
Levi-Civita (levi_civita). Juntamente com lc_u, pode ser usada para simplificar
muitas expressões mais eficientemente que a avaliação de levi_civita.
Para detalhes, veja lc_l.
Simplifica expr por renomeação (veja rename)
e permutando índices que ocorrem exactamente duas vezes. rename é restrito a adições de produto
de tensores nos quais nenhum índice derivativo estiver presente. Como tal isso é limitado
e pode somente ser usado se canform não for capaz de realizar a
simplificação requerida.
A função canten retorna um resultado matematicamente correcto somente
se seu argumento for uma expressão que é completamente simétrica em seus índices.
Por essa razão, canten retorna um erro se allsym não for
posicionada em true.
Similar a canten mas também executa contração de índices.
Valor por omissão: false. Se true então todos os objectos indexados
são assumidos simétricos em todos os seus índices covariantes e
contravariantes. Se false então nenhum simétrico de qualquer tipo é assumidos
nesses índices. Índices derivativos são sempre tomados para serem simétricos
a menos que iframe_flag seja escolhida para true.
Declara propriedades de simetria para tensor de covariante m e
n índices contravariantes. As cov_i e contr_i são
pseudofunções expressando relações de simetrias em meio a índices covariante e
índices contravariantes respectivamente. Esses são da forma
symoper(index_1, index_2,...) onde symoper é um entre
sym, anti ou cyc e os index_i são inteiros
indicando a posição do índice no tensor. Isso irá
declarar tensor para ser simétrico, antisimétrico ou cíclico respectivamente
nos index_i. symoper(all) é também forma permitida que
indica todos os índices obedecem à condição de simetria. Por exemplo, dado um
objecto b com 5 índices covariantes,
decsym(b,5,3,[sym(1,2),anti(3,4)],[cyc(all)]) declara b
simétrico no seu primeiro e no seu segundo índices e antisimétrico no seu terceiro e
quarto índices covariantes, e cíclico em todos de seus índices contravariantes.
Qualquer lista de declarações de simetria pode ser nula. A função que
executa as simplificações é canform como o exemplo abaixo
ilustra.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) expr:contract(expand(a([i1,j1,k1],[])*kdels([i,j,k],[i1,j1,k1])))$
(%i3) ishow(expr)$
(%t3) a + a + a + a + a + a
k j i k i j j k i j i k i k j i j k
(%i4) decsym(a,3,0,[sym(all)],[]);
(%o4) done
(%i5) ishow(canform(expr))$
(%t5) 6 a
i j k
(%i6) remsym(a,3,0);
(%o6) done
(%i7) decsym(a,3,0,[anti(all)],[]);
(%o7) done
(%i8) ishow(canform(expr))$
(%t8) 0
(%i9) remsym(a,3,0);
(%o9) done
(%i10) decsym(a,3,0,[cyc(all)],[]);
(%o10) done
(%i11) ishow(canform(expr))$
(%t11) 3 a + 3 a
i k j i j k
(%i12) dispsym(a,3,0);
(%o12) [[cyc, [[1, 2, 3]], []]]
Remove todas as propriedades de simetria de tensor que tem m índices covariantes e n índices contravariantes.
Simplifica expr através de mudança de nome de índices
que ocorrem exactamente duas vezes e reordenação de todos os índices como ditados pelas condições de simetria
impostas sobre eles. Se allsym for true então todos os índices são assumidos
simétricos, de outra forma a informação de simetria fornecida pelas declarações
decsym irão ser usadas. Os índices que ocorrem exactamente duas vezes são renomeados da mesma
maneira que na função rename. Quando canform é aplicada a uma expressão
larga o cálculo pode tomar um considerável montante de tempo.
Esse tempo pode ser diminuído através do uso de rename sobre a expressão em primeiro lugar.
Também veja o exemplo sob decsym. Nota: canform pode não estar apta a
reduzir um expressão completamente para sua forma mais simples embora
retorne sempre um resultado matemáticamente correcto.
É a função usual de diferenciação do Maxima que tem sido expandida
nessas habilidades para itensor. diff toma a derivada de expr
n_1 vezes com relação a v_1, n_2 vezes com relação a v_2
, etc. Para o pacote tensor, a função tem sido modificada de
forma que os v_i possam ser inteiros de 1 até o valor da variável
dim. Isso causará a conclusão da diferenciação com
relação ao v_iésimo membro da lista vect_coords. Se
vect_coords for associado a uma variável atômica, então aquela variável
subscrita através de v_i será usada para a variável de
diferenciação. Isso permite que um array de nomes de coordenadas ou
nomes subscritos como x[1], x[2], ... sejam usados.
Diferenciação indicial. A menos que diff, que diferencia
com relação a uma variável independente, idiff possa ser usada
para diferenciar com relação a uma coordenada. Para um objecto indexado,
isso equivale a anexar ao final os v_i como índices derivativos.
Subsequêntemente, índices derivativos irão ser ordenados, a menos que iframe_flag
seja escolhida para true.
idiff pode também ser o determinante de um tensor
métrico. Dessa forma, se imetric tiver sido associada a G então
idiff(determinant(g),k) irá retornar
2*determinant(g)*ichr2([%i,k],[%i]) onde o índice que ocorre exactamente duas vezes %i
é escolhido apropriadamente.
Calcula a derivada de Lie da expressão tensorial ten com relação ao campo vectorial v. ten pode ser qualquer expressão tensorial indexada; v pode ser o nome (sem índices) de um campo vectorial. Por exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(liediff(v,a([i,j],[])*b([],[k],l)))$
k %2 %2 %2
(%t2) b (v a + v a + v a )
,l i j,%2 ,j i %2 ,i %2 j
%1 k %1 k %1 k
+ (v b - b v + v b ) a
,%1 l ,l ,%1 ,l ,%1 i j
Avalia todas as ocorrências do comando idiff na expressão
tensorial ten.
Retorna uma expressão equivalente a expr mas com todas as derivadas
de objectos indexados substituídas pela forma substantiva da função idiff. Seu
argumento pode retornar aquele objecto indexado se a diferenciação for
concluída. Isso é útil quando for desejado substituir um
objecto indexado que sofreu diferenciação com alguma definição de função resultando
em expr e então concluir a diferenciação através de digamos
ev(expr, idiff).
Equivalente à execução de undiff, seguida por ev e
rediff.
O ponto dessa operação é facilmente avaliar expressões que não possam ser directamente avaliadas na forma derivada. Por exemplo, o seguinte causa um erro:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) icurvature([i,j,k],[l],m);
Maxima encountered a Lisp error:
Error in $ICURVATURE [or a callee]:
$ICURVATURE [or a callee] requires less than three arguments.
Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
Todavia, se icurvature é informado em sua forma substantiva, pode ser avaliado
usando evundiff:
(%i3) ishow('icurvature([i,j,k],[l],m))$
l
(%t3) icurvature
i j k,m
(%i4) ishow(evundiff(%))$
l l %1 l %1
(%t4) - ichr2 - ichr2 ichr2 - ichr2 ichr2
i k,j m %1 j i k,m %1 j,m i k
l l %1 l %1
+ ichr2 + ichr2 ichr2 + ichr2 ichr2
i j,k m %1 k i j,m %1 k,m i j
Nota: Em versões anteriores do Maxima, formas derivadas dos
símbolos de Christoffel também não podiam ser avaliadas. Isso foi corrigido actualmente,
de forma que evundiff não mais é necessária para expressões como essa:
(%i5) imetric(g);
(%o5) done
(%i6) ishow(ichr2([i,j],[k],l))$
k %3
g (g - g + g )
j %3,i l i j,%3 l i %3,j l
(%t6) -----------------------------------------
2
k %3
g (g - g + g )
,l j %3,i i j,%3 i %3,j
+ -----------------------------------
2
Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências de tensor_i que não tiverem índices derivativos.
Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências de tensor_i que tiverem índices derivativos.
Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências do objecto diferenciado tensor que tem n ou mais índices derivativos como demonstra o seguinte exemplo.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(a([i],[J,r],k,r)+a([i],[j,r,s],k,r,s))$
J r j r s
(%t2) a + a
i,k r i,k r s
(%i3) ishow(flushnd(%,a,3))$
J r
(%t3) a
i,k r
Dados os tensor_i a propriedade de diferenciação da coordenada que a
derivada do vector contravariante cujo nome é um dos
tensor_i retorna um delta de Kronecker. Por exemplo, se coord(x) tiver
sido concluída então idiff(x([],[i]),j) fornece kdelta([i],[j]).
coord que é uma lista de todos os objectos indexados tendo essa propriedade.
Remove a propriedade de coordenada de diferenciação dos tensor_i
que foram estabelecidos através da função coord. remcoord(all)
remove essa propriedade de todos os objectos indexados.
Mostra expr da mesma maneira que show; todavia,
qualquer tensor d’Alembertiano ocorrendo em expr será indicado usando o
símbolo []. Por exemplo, []p([m],[n]) representa
g([],[i,j])*p([m],[n],i,j).
Simplifica expressões contendo derivadas comuns de
ambas as formas covariantes e contravariantes do tensor métrico (a
restrição corrente). Por exemplo, conmetderiv pode relatar a
derivada do tensor contravariante métrico com símbolos de
Christoffel como visto adiante:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(g([],[a,b],c))$
a b
(%t2) g
,c
(%i3) ishow(conmetderiv(%,g))$
%1 b a %1 a b
(%t3) - g ichr2 - g ichr2
%1 c %1 c
Simplifica expressões contendo produtos de derivadas de
tensores métricos. Especificamente, simpmetderiv reconhece duas identidades:
ab ab ab a g g + g g = (g g ) = (kdelta ) = 0 ,d bc bc,d bc ,d c ,d
consequêntemente
ab ab g g = - g g ,d bc bc,d
e
ab ab g g = g g ,j ab,i ,i ab,j
que seguem de simetrias de símbolos de Christoffel.
A função simpmetderiv toma um parâmetro opcional que, quando
presente, faz com que a função pare após a primeira substituição feita com
sucesso em uma expressão produto. A função simpmetderiv
também faz uso da variável global flipflag que determina
como aplicar uma ordenação “canonica” para os índices de produto.
Colocados juntos, essas compatibilidades podem ser usadas poderosamente para encontrar
simplificações que são difíceis ou impossíveis de realizar de outra forma.
Isso é demonstrado através do seguinte exemplo que explicitamente usa o
recurso de simplificação parcial de simpmetderiv para obter uma
expressão contractível:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2) done
(%i3) ishow(g([],[a,b])*g([],[b,c])*g([a,b],[],d)*g([b,c],[],e))$
a b b c
(%t3) g g g g
a b,d b c,e
(%i4) ishow(canform(%))$
errexp1 has improper indices
-- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
(%i5) ishow(simpmetderiv(%))$
a b b c
(%t5) g g g g
a b,d b c,e
(%i6) flipflag:not flipflag;
(%o6) true
(%i7) ishow(simpmetderiv(%th(2)))$
a b b c
(%t7) g g g g
,d ,e a b b c
(%i8) flipflag:not flipflag;
(%o8) false
(%i9) ishow(simpmetderiv(%th(2),stop))$
a b b c
(%t9) - g g g g
,e a b,d b c
(%i10) ishow(contract(%))$
b c
(%t10) - g g
,e c b,d
Veja também weyl.dem para um exemplo que usa simpmetderiv
e conmetderiv juntos para simplificar contrações do tensor de Weyl.
Escolhe para zero, em expr, todas as ocorrências de tensor que possuem
exactamente um índice derivativo.
Especifica a métrica através de atribuição à variável imetric:g
adicionalmente, as propriedades de contração da métrica g são escolhidas através da
execução dos comandos defcon(g),defcon(g,g,kdelta).
A variável imetric (desassociada por padrão), é associada à métrica, atribuida pelo
comando imetric(g).
Escolhe as dimensões da métrica. Também inicializa as propriedades de antisimetria dos símbolos de Levi-Civita para as dimensões dadas.
Retorna o símbolo de Christoffel de primeiro tipo via definição
(g + g - g )/2 .
ik,j jk,i ij,k
Para avaliar os símbolos de Christoffel para uma métrica particular, à
variável imetric deve ser atribuída um nome como no exemplo sob chr2.
Retorna o símbolo de Christoffel de segundo tipo definido pela relação
ks
ichr2([i,j],[k]) = g (g + g - g )/2
is,j js,i ij,s
Retorna o tensor da curvatura de
Riemann em termos de símbolos de Christoffel de segundo
tipo (ichr2). A seguinte notação é usada:
h h h %1 h
icurvature = - ichr2 - ichr2 ichr2 + ichr2
i j k i k,j %1 j i k i j,k
h %1
+ ichr2 ichr2
%1 k i j
Retorna a derivada da covariante de expr com
relação às variáveis v_i em termos de símbolos de Christoffel de
segundo tipo (ichr2). Com o objectivo de avaliar esses, se pode usar
ev(expr,ichr2).
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) entertensor()$
Enter tensor name: a;
Enter a list of the índices covariantes: [i,j];
Enter a list of the índices contravariantes: [k];
Enter a list of the derivative indices: [];
k
(%t2) a
i j
(%i3) ishow(covdiff(%,s))$
k %1 k %1 k k %1
(%t3) - a ichr2 - a ichr2 + a + ichr2 a
i %1 j s %1 j i s i j,s %1 s i j
(%i4) imetric:g;
(%o4) g
(%i5) ishow(ev(%th(2),ichr2))$
%1 %4 k
g a (g - g + g )
i %1 s %4,j j s,%4 j %4,s
(%t5) - ------------------------------------------
2
%1 %3 k
g a (g - g + g )
%1 j s %3,i i s,%3 i %3,s
- ------------------------------------------
2
k %2 %1
g a (g - g + g )
i j s %2,%1 %1 s,%2 %1 %2,s k
+ ------------------------------------------- + a
2 i j,s
(%i6)
Impõe a condição de Lorentz através da substituição de 0 para todos os objectos indexados em expr que possui um índice de derivada idêntico ao índice contravariante.
Faz com que símbolos de Christoffel não diferenciados e
a primeira derivada do tensor métrico tendam para zero em expr. O nome
na função igeodesic_coords refere-se à métrica nome
(se isso aparecer em expr) enquando os coeficientes de conecção devem ser
chamados com os nomes ichr1 e/ou ichr2. O seguinte exemplo
demonstra a verificação da identidade cíclica satisfeita através do tensor da
curvatura de Riemann usando a função igeodesic_coords.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(icurvature([r,s,t],[u]))$
u u %1 u u %1
(%t2) - ichr2 - ichr2 ichr2 + ichr2 + ichr2 ichr2
r t,s %1 s r t r s,t %1 t r s
(%i3) ishow(igeodesic_coords(%,ichr2))$
u u
(%t3) ichr2 - ichr2
r s,t r t,s
(%i4) ishow(igeodesic_coords(icurvature([r,s,t],[u]),ichr2)+
igeodesic_coords(icurvature([s,t,r],[u]),ichr2)+
igeodesic_coords(icurvature([t,r,s],[u]),ichr2))$
u u u u u
(%t4) - ichr2 + ichr2 + ichr2 - ichr2 - ichr2
t s,r t r,s s t,r s r,t r t,s
u
+ ichr2
r s,t
(%i5) canform(%);
(%o5) 0
Maxima actualmente tem a habilidade de executar cálculos usando referenciais móveis. Essas podem ser referenciais ortonormais (tetrads, vielbeins) ou um referencial arbitrária.
Para usar referenciais, primeiro escolha iframe_flag para true. Isso
faz com que os símbolos de Christoffel, ichr1 e ichr2, sejam substituídos
pelos referenciais mais gerais de coeficientes de conecção icc1 e icc2
em cálculos. Especialmente, o comportamento de covdiff e
icurvature são alterados.
O referencial é definido através de dois tensores: o campo de referencial inversa (ifri),
a base tetrad dual),
e a métrica do referencial ifg. A métrica do referencial é a matriz identidade para
referenciais ortonormais, ou a métrica de Lorentz para referenciais ortonormais no espaço-tempo de
Minkowski. O campo de referencial inverso define a base do referencial (vectores unitários).
Propriedades de contração são definidas para o campo de referencial e para a métrica do referencial.
Quando iframe_flag for true, muitas expressões itensor usam a métrica do
referencial ifg em lugar da métrica definida através de imetric para
o decremento e para o incremento de índices.
IMPORTANTE: Escolhendo a variável iframe_flag para true NÃO
remove a definição das propriedades de contração de uma métrica definida através de uma chamada a
defcon ou imetric. Se um campo de referencial for usado, ele é melhor para
definir a métrica através de atribuição desse nome para a variável imetric
e NÃO invoque a função imetric.
Maxima usa esses dois tensores para definir os coeficientes de referencial (ifc1
e ifc2) cuja forma parte dos coeficientes de conecção (icc1
e icc2), como demonstra o seguinte exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) iframe_flag:true;
(%o2) true
(%i3) ishow(covdiff(v([],[i]),j))$
i i %1
(%t3) v + icc2 v
,j %1 j
(%i4) ishow(ev(%,icc2))$
%1 i i i
(%t4) v (ifc2 + ichr2 ) + v
%1 j %1 j ,j
(%i5) ishow(ev(%,ifc2))$
%1 i %2
v ifg (ifb - ifb + ifb )
j %2 %1 %2 %1 j %1 j %2 i
(%t5) -------------------------------------------------- + v
2 ,j
(%i6) ishow(ifb([a,b,c]))$
%5 %4
(%t6) ifr ifr (ifri - ifri )
a b c %4,%5 c %5,%4
Um método alternativo é usado para calcular o suporte do referencial (ifb) se
o sinalizador iframe_bracket_form é escolhido para false:
(%i8) block([iframe_bracket_form:false],ishow(ifb([a,b,c])))$
%7 %6 %6 %7
(%t8) (ifr ifr - ifr ifr ) ifri
a b,%7 a,%7 b c %6
Uma vez que nessa versão do Maxima, identidades de contração para ifr e
ifri são sempre definidas, como é o suporte do referencial (ifb), essa
função não faz nada.
O suporte do referencial. A contribuição da métrica do referencial para os coeficientes de conecção é expressa usando o suporte do referencial:
- ifb + ifb + ifb
c a b b c a a b c
ifc1 = --------------------------------
abc 2
O suporte do referencial por si mesmo é definido em termos de campo de
referencial e métrica do referencial. Dois métodos alternativos de
cálculo são usados dependendo do valor de
frame_bracket_form. Se true (o padrão) ou se o
sinalizador itorsion_flag for true:
d e f
ifb = ifr ifr (ifri - ifri - ifri itr )
abc b c a d,e a e,d a f d e
Otherwise:
e d d e
ifb = (ifr ifr - ifr ifr ) ifri
abc b c,e b,e c a d
Coeficientes de conecção de primeiro tipo. Em itensor, definido como
icc1 = ichr1 - ikt1 - inmc1
abc abc abc abc
Nessa expressão, se iframe_flag for true, o símbolo de Christoffel
ichr1 é substituído com o coeficiente de conecção do referencial ifc1.
Se itorsion_flag for false, ikt1
será omitido. ikt1 é também omitido se uma base de referencial for usada, como a
torsão está já calculada como parte do suporte do referencial.
Ultimamente, como inonmet_flag é false,
inmc1 não estará presente.
Coeficientes de conecção de segundo tipo. Em itensor, definido como
c c c c
icc2 = ichr2 - ikt2 - inmc2
ab ab ab ab
Nessa expressão, se iframe_flag for true, o símbolo de Christoffel
ichr2 é substituído com o coeficiente de conecção ifc2.
Se itorsion_flag for false, ikt2
será omitido. ikt2 também será omitido se uma base de referencial for usada, uma vez que a
torsão já está calculada como parte do suporte do referencial.
Ultimamente, como inonmet_flag é false,
inmc2 não estará presente.
Coeficiente de referencial de primeiro tipo (também conhecido como coeficientes de rotação de Ricci). Esse tensor representa a contribuição da métrica do referencial para o coeficiente de conecção de primeiro tipo. Definido como:
- ifb + ifb + ifb
c a b b c a a b c
ifc1 = --------------------------------
abc 2
Coeficiente de referencial de primeiro tipo. Esse tensor representa a contribuição
da métrica do referencial para o coeficiente de conecção de primeiro tipo. Definido
como uma permutação de suporte de referencial (ifb) com os índices
apropriados incrementados e decrementados como necessário:
c cd
ifc2 = ifg ifc1
ab abd
O campo do referencial. Contrai (ifri) para e com a forma do
campo inverso do referencial para formar a métrica do referencial
(ifg).
O campo inverso do referencial. Especifica a base do referencial (vectores base duais). Juntamente com a métrica do referencial, forma a base de todos os cálculos baseados em referenciais.
A métrica do referencial. O valor padrão é kdelta, mas pode ser mudada usando
components.
O inverso da métrica do referencial. Contrai com a métrica do referencial (ifg)
para kdelta.
Valor por omissão: true
Especifica como o suporte do referencial (ifb) é calculado.
Maxima pode trabalhar com torsão e não metricidade. Quando o sinalizador
itorsion_flag for escolhido para true, a contribuição de torsão
é adicionada aos coeficientes de conecção. Similarmente, quando o sinalizador
inonmet_flag for true, componentes de não metricidades são incluídos.
O vector de não metricidade. Conforme a não metricidade está definida através da
derivada covariante do tensor métrico. Normalmente zero, o tensor da
métrica derivada covariante irá avaliar para o seguinte quando
inonmet_flag for escolhido para true:
g =- g inm ij;k ij k
Permutação covariante de componentes do vector de não metricidade. Definida como
g inm - inm g - g inm
ab c a bc ac b
inmc1 = ------------------------------
abc 2
(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)
Permutação covariante de componentes do vector de não metricidade. Usada
nos coeficicientes de conecção se inonmet_flag for true. Definida
como:
c c cd
-inm kdelta - kdelta inm + g inm g
c a b a b d ab
inmc2 = -------------------------------------------
ab 2
(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)
Permutação covariante do tensor de torsão (também conhecido como contorsão). Definido como:
d d d
-g itr - g itr - itr g
ad cb bd ca ab cd
ikt1 = ----------------------------------
abc 2
(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)
Permutação contravariante do tensor de torsão (também conhecida como contorsão). Definida como:
c cd
ikt2 = g ikt1
ab abd
(Substitue ifg em lugar de g se um referencial métrico for usada.)
O tensor de torsão. Para uma métrica com torsão, diferenciação covariante repetida sobre uma funçào escalar não irá comutar,como demonstrado através do seguinte exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric:g;
(%o2) g
(%i3) covdiff(covdiff(f([],[]),i),j)-covdiff(covdiff(f([],[]),j),i)$
(%i4) ishow(%)$
%4 %2
(%t4) f ichr2 - f ichr2
,%4 j i ,%2 i j
(%i5) canform(%);
(%o5) 0
(%i6) itorsion_flag:true;
(%o6) true
(%i7) covdiff(covdiff(f([],[]),i),j)-covdiff(covdiff(f([],[]),j),i)$
(%i8) ishow(%)$
%8 %6
(%t8) f icc2 - f icc2 - f + f
,%8 j i ,%6 i j ,j i ,i j
(%i9) ishow(canform(%))$
%1 %1
(%t9) f icc2 - f icc2
,%1 j i ,%1 i j
(%i10) ishow(canform(ev(%,icc2)))$
%1 %1
(%t10) f ikt2 - f ikt2
,%1 i j ,%1 j i
(%i11) ishow(canform(ev(%,ikt2)))$
%2 %1 %2 %1
(%t11) f g ikt1 - f g ikt1
,%2 i j %1 ,%2 j i %1
(%i12) ishow(factor(canform(rename(expand(ev(%,ikt1))))))$
%3 %2 %1 %1
f g g (itr - itr )
,%3 %2 %1 j i i j
(%t12) ------------------------------------
2
(%i13) decsym(itr,2,1,[anti(all)],[]);
(%o13) done
(%i14) defcon(g,g,kdelta);
(%o14) done
(%i15) subst(g,nounify(g),%th(3))$
(%i16) ishow(canform(contract(%)))$
%1
(%t16) - f itr
,%1 i j
O pacote itensor pode executar operações sobre campos tensores
covariantes totalmente antisimétricos. Um campo tensor totalmente antisimétrico de classe
(0,L) corresponde a uma forma diferencial L. Sobre esses objectos, uma
operação de multiplicação funciona como um produto externo, ou produto cunha,
é definido.
Desafortunadamente, nem todos os autores concordam sobre a definição de produto cunha. Alguns autores preferem uma definição que corresponde à noção de antisimetrização: nessas palavras, o produto cunha de dois campos vectoriais, por exemplo, pode ser definido como
a a - a a
i j j i
a /\ a = -----------
i j 2
Mais geralmente, o produto de uma forma p e uma forma q pode ser definido como
1 k1..kp l1..lq A /\ B = ------ D A B i1..ip j1..jq (p+q)! i1..ip j1..jq k1..kp l1..lq
onde D simboliza o delta de Kronecker.
Outros autores, todavia, preferem uma definição “geométrica” que corresponde à notação de elemento volume:
a /\ a = a a - a a i j i j j i
e, no caso geral
1 k1..kp l1..lq A /\ B = ----- D A B i1..ip j1..jq p! q! i1..ip j1..jq k1..kp l1..lq
Uma vez que itensor é um pacote de algebra de tensores, a primeira dessas duas
definições aparenta ser a mais natural por si mesma. Muitas aplicações, todavia,
usam a segunda definição. Para resolver esse dilema, um sinalizador tem sido
implementado que controla o comportamento do produto cunha: se
igeowedge_flag for false (o padrão), a primeira, definição
"tensorial" é usada, de outra forma a segunda, definição "geométrica" irá
ser aplicada.
O operador do produto cunha é definido como sendo o acento til ~. O til é
um operador binário. Seus argumentos podem ser expressões envolvendo escalares,
tensores covariantes de categoria 1, ou tensores covariantes de categoria l que
tiverem sido declarados antisimétricos em todos os índices covariantes.
O comportamento do operador do produto cunha é controlado através do
sinalizador igeowedge_flag, como no seguinte exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(a([i])~b([j]))$
a b - b a
i j i j
(%t2) -------------
2
(%i3) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o3) done
(%i4) ishow(a([i,j])~b([k]))$
a b + b a - a b
i j k i j k i k j
(%t4) ---------------------------
3
(%i5) igeowedge_flag:true;
(%o5) true
(%i6) ishow(a([i])~b([j]))$
(%t6) a b - b a
i j i j
(%i7) ishow(a([i,j])~b([k]))$
(%t7) a b + b a - a b
i j k i j k i k j
A barra vertical | denota a operação binária
"contração com um vector". Quando um tensor covariante totalmente antisimétrico é contraído
com um vector contravariante, o resultado é o mesmo independente de qual índice
foi usado para a contração. Dessa forma, é possível definir a
operação de contração de uma forma livre de índices.
No pacote itensor, contração com um vector é sempre realizada
com relação ao primeiro índice na ordem literal de ordenação. Isso garante
uma melhor simplificação de expressões envolvendo o operador |. Por exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o2) done
(%i3) ishow(a([i,j],[])|v)$
%1
(%t3) v a
%1 j
(%i4) ishow(a([j,i],[])|v)$
%1
(%t4) - v a
%1 j
Note que isso é essencial que os tensores usado como o operador | seja
declarado totalmente antisimétrico em seus índices covariantes. De outra forma,
os resultados serão incorrectos.
Calcula a derivada externa de expr com relação ao índice
i. A derivada externa é formalmente definida como o produto
cunha do operador de derivada parcial e uma forma diferencial. Como
tal, essa operação é também controlada através da escolha de igeowedge_flag.
Por exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) ishow(extdiff(v([i]),j))$
v - v
j,i i,j
(%t2) -----------
2
(%i3) decsym(a,2,0,[anti(all)],[]);
(%o3) done
(%i4) ishow(extdiff(a([i,j]),k))$
a - a + a
j k,i i k,j i j,k
(%t4) ------------------------
3
(%i5) igeowedge_flag:true;
(%o5) true
(%i6) ishow(extdiff(v([i]),j))$
(%t6) v - v
j,i i,j
(%i7) ishow(extdiff(a([i,j]),k))$
(%t7) a - a + a
j k,i i k,j i j,k
Calcula o Hodge dual de expr. Por exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) imetric(g);
(%o2) done
(%i3) idim(4);
(%o3) done
(%i4) icounter:100;
(%o4) 100
(%i5) decsym(A,3,0,[anti(all)],[])$
(%i6) ishow(A([i,j,k],[]))$
(%t6) A
i j k
(%i7) ishow(canform(hodge(%)))$
%1 %2 %3 %4
levi_civita g A
%1 %102 %2 %3 %4
(%t7) -----------------------------------------
6
(%i8) ishow(canform(hodge(%)))$
%1 %2 %3 %8 %4 %5 %6 %7
(%t8) levi_civita levi_civita g g
%1 %106 %2 %107
g g A /6
%3 %108 %4 %8 %5 %6 %7
(%i9) lc2kdt(%)$
(%i10) %,kdelta$
(%i11) ishow(canform(contract(expand(%))))$
(%t11) - A
%106 %107 %108
Valor por omissão: false
Controla o comportamento de produto cunha e derivada externa. Quando
for esconhida para false (o padrão), a noção de formas diferenciais irá
corresponder àquela de um campo tensor covariante totalmente antisimétrico.
Quando escolhida para true, formas diferenciais irão concordar com a noção do
elemento volume.
O pacote itensor fornece suporte limitado à exportação de expressões
de tensores para o TeX. Uma vez que expressões itensor aparecem como chamada a funções,
o comando regular tex do Maxima não produzirá a saída
esperada. Pode tentar no seu lugar o comando tentex, o qual tenta
traduzir expressões de tensores dentro de objectos TeX indexados apropriadamente.
Para usar a função tentex, deve primeiro chamar tentex,
como no seguinte exemplo:
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) load("tentex");
(%o2) /share/tensor/tentex.lisp
(%i3) idummyx:m;
(%o3) m
(%i4) ishow(icurvature([j,k,l],[i]))$
m1 i m1 i i i
(%t4) ichr2 ichr2 - ichr2 ichr2 - ichr2 + ichr2
j k m1 l j l m1 k j l,k j k,l
(%i5) tentex(%)$
$$\Gamma_{j\,k}^{m_1}\,\Gamma_{l\,m_1}^{i}-\Gamma_{j\,l}^{m_1}\,
\Gamma_{k\,m_1}^{i}-\Gamma_{j\,l,k}^{i}+\Gamma_{j\,k,l}^{i}$$
Note o uso da declaração idummyx, para evitar o aparecimento
do sinal de porcentagem na expressão TeX, o qual pode induzir a erros de compilação.
Note Bem: Essa vesão da função tentex é um tanto quanto experimental.
ctensorO pacote itensor possui a habilidade de gerar código Maxima que pode
então ser executado no contexto do pacote ctensor. A função que executa
essa tarefa é ic_convert.
Converte a equação eqn na sintaxe itensor para uma declaração de atribuição ctensor.
Adições implícitas sobre índices que ocorrem exactamente duas vezes são tornadas explícitas enquanto objectos
indexados são transformados em arrays (os arrays subscritos estão na
ordem de covariância seguidos de índices contravariantes dos objectos
indexados). A derivada de um objecto indexado será substituída pela
forma substantiva de diff tomada com relação a ct_coords subscrita
pelo índice de derivação. Os símbolos de Christoffel ichr1 e ichr2
irão ser traduzidos para lcs e mcs, respectivamente e se
metricconvert for true então todas as ocorrências da métrica
com dois índices covariantes (ou contravariantes) irão ser renomeadas para lg
(ou ug). Adicionalmente, ciclos do irão ser introduzidos adicionando sobre
todos os índices livres de forma que a
declaração de atribuição transformada pode ser avaliada através de apenas fazendo
ev. Os seguintes exemplos demonstam os recursos dessa
função.
(%i1) load("itensor");
(%o1) /share/tensor/itensor.lisp
(%i2) eqn:ishow(t([i,j],[k])=f([],[])*g([l,m],[])*a([],[m],j)*b([i],[l,k]))$
k m l k
(%t2) t = f a b g
i j ,j i l m
(%i3) ic_convert(eqn);
(%o3) for i thru dim do (for j thru dim
do (for k thru dim do t : f sum(sum(diff(a , ct_coords ) b
i, j, k m j i, l, k
g , l, 1, dim), m, 1, dim)))
l, m
(%i4) imetric(g);
(%o4) done
(%i5) metricconvert:true;
(%o5) true
(%i6) ic_convert(eqn);
(%o6) for i thru dim do (for j thru dim
do (for k thru dim do t : f sum(sum(diff(a , ct_coords ) b
i, j, k m j i, l, k
lg , l, 1, dim), m, 1, dim)))
l, m
As palavras seguintes do Maxima são usadas internamente pelo pacote itensor e
não podem ser redefinidas:
Keyword Comments
------------------------------------------
indices2() versão interna de indices()
conti Lista de índices contravariantes
covi Lista de índices covariantes de um objecto indexado
deri Lista de índices de derivada de um objecto indexado
name Retorna o nome de um objecto indexado
concan
irpmon
lc0
_lc2kdt0
_lcprod
_extlc
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