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46, distrib

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46.1, Introdução a distrib

Pacote distrib contém um conjunto de funções para fazer cálculos envolvendo probabilidades de modelos de uma única variável estatística e de ambos os tipos discreta e contínua.

O que segue é um curto resumo de definiçoes básicas relacionadas à teoria das probabilidades.

Seja \(f(x)\) a função densidade de probabilidade absoluta de uma variável aleatória contínua \(X\). A função distribuição de probabilidade é definida como 

                       x
                      /
                      [
               F(x) = I     f(u) du
                      ]
                      /
                       minf

que é igual à probabilidade Pr(X <= x).

O valor médio é um parâmetro de localização e está definido como 

                     inf
                    /
                    [
           E[X]  =  I   x f(x) dx
                    ]
                    /
                     minf

A variância é uma medida de variação, 

                 inf
                /
                [                    2
         V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
                ]
                /
                 minf

que é um número real positivo. A raíz quadrada da variância é o desvio padrão, \(D[X]=sqrt(V[X])\), e esse desvio padrão é outra medida de variação.

O coeficiente de assimetria é uma medida de não simetria, 

                 inf
                /
            1   [                    3
  SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
              3 ]
          D[X]  /
                 minf

E o coeficiente de curtose mede o grau de achatamento de uma distribuição, 

                 inf
                /
            1   [                    4
  KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
              4 ]
          D[X]  /
                 minf

Se \(X\) for gaussiana, \(KU[X]=0\). De facto, ambos assimetria e curtose são parâmetros de ajuste usados para medir a não gaussianidade de uma distribuição.

Se a variável aleatória \(X\) for discreta, a função densidade de probabilidade, ou simplesmente probabilidade, \(f(x)\) toma valores positivos dentro de certos conjuntos contáveis de números \(x_i\), e zero em caso contrário. Nesse caso, a função distribuição de probabilidade é 

                       ====
                       \
                F(x) =  >    f(x )
                       /        i
                       ====
                      x <= x
                       i

A média, variância, desvio padrão, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose tomam a forma 

                       ====
                       \
                E[X] =  >  x  f(x ) ,
                       /    i    i
                       ====
                        x 
                         i

                ====
                \                     2
        V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
                /        i    i
                ====
                 x
                  i

               D[X] = sqrt(V[X]),

                     ====
              1      \                     3
  SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])  
           D[X]^3    /        i    i
                     ====
                      x
                       i

and 

                     ====
              1      \                     4
  KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
           D[X]^4    /        i    i
                     ====
                      x
                       i

respectively.

O Pacote distrib inclui funções para simulação de variáveis estatísticas pseudo-aleatórias. Algumas dessas funções fazem uso de variáveis opcionais que indicam o algoritmo a ser usado. O método inverso genérico (baseado no facto que se u for um número aleatório uniforme no intervalo \((0,1)\), então F^(-1)(u) é uma variável estatística pseudo-aleatória com distribuição \(F\)) está implementada para a maioria dos casos; isso é um método subóptimo em termos de cronometragem, mas útil para fazer comparações com outros algoritmos. Nesse exemplo, a perandom_formance dos algoritmos ahrens_cheng e inverse em simular variáveis chi-quadradas (letra grega "chi") são comparadas por meio de seus histogramas: 

(%i1) load("distrib")$
(%i2) load("descriptive")$
(%i3) showtime: true$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 32 bytes.
(%i4) random_chi2_algorithm: 'ahrens_cheng$ histogram(random_chi2(10,500))$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 40 bytes.
Evaluation took 0.69 seconds (0.71 elapsed) using 5.694 MB.
(%i6) random_chi2_algorithm: 'inverse$ histogram(random_chi2(10,500))$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 32 bytes.
Evaluation took 10.15 seconds (10.17 elapsed) using 322.098 MB.

Com o objectivo de fazer comparações visuais entre algoritmos para uma variável estatística discreta, a função barsplot do pacote descriptive pode ser usada.

Note que algum trabalho resta para ser realizado, uma vez que essas funções de simulação não foram ainda verificadas pelos mais rigorosamente melhores dos testes de ajuste.

Por favor, consulte um manual introdutório sobre probabilidade e estatística para maiores informações sobre todo esse material matemático.

Existe uma convenção de nome no pacote distrib. Todo nome de função tem duas partes, a primeira faz referência à função ou ao parâmetro que queremos calcular, 

Funções:
   função densidade de probabilidade            (pdf_*)
   função distribuição de probabilidade       (cdf_*)
   Quartil                    (quantile_*)
   Média                        (mean_*)
   Variância                    (var_*)
   Desvio padrão          (std_*)
   Coeficiente de assimetria        (skewness_*)
   Coeficiente de curtose        (kurtosis_*)
   Variável estatística pseudo-aleatória              (random_*)

A segunda parte é uma referência explícita ao modelo probabilístico, 

Distribuíções contínuas:
   Normal              (*normal)
   Student             (*student_t)
   Chi^2               (*chi2)
   F                   (*f)
   Exponencial         (*exp)
   Lognormal           (*lognormal)
   Gama               (*gamma)
   Beta                (*beta)
   contínua uniforme  (*continuous_uniform)
   Logística            (*logistic)
   Pareto              (*pareto)
   Weibull             (*weibull)
   Rayleigh            (*rayleigh)
   Laplace             (*laplace)
   Cauchy              (*cauchy)
   Gumbel              (*gumbel)

Distribuições discretas:
   Binomial             (*binomial)
   Poisson              (*poisson)
   Bernoulli            (*bernoulli)
   Geométrica            (*geometric)
   discreta uniforme     (*discrete_uniform)
   hipergeométrica       (*hypergeometric)
   Binomial Negativa    (*negative_binomial)

Por exemplo, pdf_student_t(x,n) é a função densidade de probabilidade da distribuição de Student com n graus de liberdade, std_pareto(a,b) é o desvio padrão da distribuição de Pareto com parâmetros a e b e kurtosis_poisson(m) é o coeficiente de curtose da distribuição de Poisson com média m.

Para poder usar o pacote distrib precisa primeiro carregá-lo escrevendo 

(%i1) load("distrib")$

Para comentários, melhorias ou sugestões, por favor contacte o autor em ’mario AT edu DOT xunta DOT es’.

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46.2, Definições para distribuições contínuas

Função: pdf_normal (x,m,s)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_normal (x,m,s)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\). Essa função é definida em termos de funções de erro internas do Maxima, erf. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) assume(s>0)$ cdf_normal(x,m,s);
                             x - m
                       erf(---------)
                           sqrt(2) s    1
(%o3)                  -------------- + -
                             2          2

Veja também erf.

Função: quantile_normal (q,m,s)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\); em outras palavras, isso é o inverso de cdf_normal. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_normal (m,s)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\), a saber m. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_normal (m,s)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\), a saber s^2. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_normal (m,s)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\), a saber s. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_normal (m,s)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\), que é sempre igual a 0. Para fazer uso dessa função,escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_normal (m,s)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\), que é sempre igual a 0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_normal_algorithm

Valor por omissão: box_mueller

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis aleatórias normais. O algoritmos implementados são box_mueller e inverse:

  • box_mueller, Baseado no algoritmo descrito em Knuth, D.E. (1981) Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Addison-Wesley.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_normal.

Função: random_normal (m,s)
Função: random_normal (m,s,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Normal(m,s)\), com \(s>0\). Chamando random_normal com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Existem dois algoritmos implementados para essa função, e o algoritmo a ser usado pode ser seleccionado fornecendo um certo valor para a variável global random_normal_algorithm, cujo valor padrão é box_mueller.

Veja também random_normal_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_student_t (x,n)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_student_t (x,n)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>0\). Essa função não tem uma forma definitiva e é calculada numericamente se a variável global numer for igual a true, de outra froma cdf_student_t retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_student_t(1/2, 7/3);
                                     1  7
(%o2)                  cdf_student_t(-, -)
                                     2  3
(%i3) %,numer;
(%o3)                   .6698450596140417
Função: quantile_student_t (q,n)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>0\); em outras palavras, quantile_student_t é o inverso de cdf_student_t. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_student_t (n)

Retorna a média de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>0\), que é sempre igual a 0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_student_t (n)

Retorna a variância de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>2\). 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) assume(n>2)$  var_student_t(n);
                                n
(%o3)                         -----
                              n - 2
Função: std_student_t (n)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_student_t (n)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>3\), que é sempre igual a 0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_student_t (n)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>4\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_student_t_algorithm

Valor por omissão: ratio

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas pseudo-aleatórias de Student. Algorítmos implementados são inverse e ratio:

  • inverse, baseado no método inverso genérico.
  • ratio, baseado no facto que se Z for uma variável aleatória normal \(N(0,1)\) e \(S^2\) for uma variável aleatória chi quadrada com n graus de liberdade, \(Chi^2(n)\), então 
                               Z
                 X = -------------
                     /   2  \ 1/2
                     |  S   |
                     | ---  |
                     \  n   /

    é uma variável aleatória de Student com n graus de liberdade, \(t(n)\).

Veja também random_student_t.

Função: random_student_t (n)
Função: random_student_t (n,m)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória de Student \(t(n)\), com \(n>0\). Chamando random_student_t com um segundo argumento m, uma amostra aleatória de tamanho m será simulada.

Existem dois algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_student_t_algorithm, cujo valor padrão é ratio.

Veja também random_student_t_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_chi2 (x,n)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

A variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\), portanto quando Maxima não tiver informação para pegar o resultado, uma forma nomial baseada na função de densidade densidade de probabilidade da função gama é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_chi2(x,n);
                                    n
(%o2)                  pdf_gamma(x, -, 2)
                                    2
(%i3) assume(x>0, n>0)$  pdf_chi2(x,n);
                         n/2 - 1   - x/2
                        x        %e
(%o4)                   ----------------
                          n/2       n
                         2    gamma(-)
                                    2
Função: cdf_chi2 (x,n)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

Essa função não possui uma forma fechada e é calculada numericamante se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal baseada na distribuição gama, uma vez que a variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\). 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_chi2(3,4);
(%o2)                  cdf_gamma(3, 2, 2)
(%i3) cdf_chi2(3,4),numer;
(%o3)                   .4421745996289249
Função: quantile_chi2 (q,n)

Retorna o q-quantilede uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_chi2. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\).

This função não possui uma forma fechada e é calculada numericamante se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal baseada no quantil da função gama, uma vez que a variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\). 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_chi2(0.99,9);
(%o2)                   21.66599433346194
(%i3) quantile_chi2(0.99,n);
                                        n
(%o3)              quantile_gamma(0.99, -, 2)
                                        2
Função: mean_chi2 (n)

Retorna a média de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

A variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na média da função gama é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_chi2(n);
                                   n
(%o2)                   mean_gamma(-, 2)
                                   2
(%i3) assume(n>0)$ mean_chi2(n);
(%o4)                           n
Função: var_chi2 (n)

Retorna a variância de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

A variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na variância da função gama é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_chi2(n);
                                   n
(%o2)                    var_gamma(-, 2)
                                   2
(%i3) assume(n>0)$ var_chi2(n);
(%o4)                          2 n
Função: std_chi2 (n)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

A variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no desvio padrão da função gama é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_chi2(n);
                                   n
(%o2)                    std_gamma(-, 2)
                                   2
(%i3) assume(n>0)$ std_chi2(n);
(%o4)                    sqrt(2) sqrt(n)
Função: skewness_chi2 (n)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

A variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de assimetria da função gama é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_chi2(n);
                                     n
(%o2)                 skewness_gamma(-, 2)
                                     2
(%i3) assume(n>0)$ skewness_chi2(n);
                            2 sqrt(2)
(%o4)                       ---------
                             sqrt(n)
Função: kurtosis_chi2 (n)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória Chi-quadrada \(Chi^2(n)\), com \(n>0\).

A variável aleatória \(Chi^2(n)\) é equivalente a \(Gamma(n/2,2)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de curtose da função gama é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_chi2(n);
                                     n
(%o2)                 kurtosis_gamma(-, 2)
                                     2
(%i3) assume(n>0)$ kurtosis_chi2(n);
                               12
(%o4)                          --
                               n
Variável de opção: random_chi2_algorithm

Valor por omissão: ahrens_cheng

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatística pseudo-aleatórias Chi-quadradas. Os algoritmos implementados são ahrens_cheng e inverse:

  • ahrens_cheng, baseado na simulação aleatória de variáveis gama. Veja random_gamma_algorithm para mais detalhes.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_chi2.

Função: random_chi2 (n)
Função: random_chi2 (n,m)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória Chi-square \(Chi^2(n)\), com \(n>0\). Chamando random_chi2 com um segundo argumento m, uma amostra aleatória de tamanho m será simulada.

Existem dois algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_chi2_algorithm, cujo valor padrão é ahrens_cheng.

Veja também random_chi2_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_f (x,m,n)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m,n>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_f (x,m,n)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m,n>0\). Essa função não possui uma forma definitiva e é calculada numericamente se a variável global numer for igual a true, de outra forma retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_f(2,3,9/4);
                                     9
(%o2)                    cdf_f(2, 3, -)
                                     4
(%i3) %,numer;
(%o3)                   0.66756728179008
Função: quantile_f (q,m,n)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m,n>0\); em outras palavras, essa função é o inverso de cdf_f. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\).

Essa função não possui uma forma fechada e é calculada numericamante se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
                               2
(%o2)               quantile_f(-, sqrt(3), 5)
                               5
(%i3) %,numer;
(%o3)                   0.518947838573693
Função: mean_f (m,n)

Retorna a média de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m>0, n>2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_f (m,n)

Retorna a variância de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m>0, n>4\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_f (m,n)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m>0, n>4\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_f (m,n)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m>0, n>6\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_f (m,n)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m>0, n>8\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_f_algorithm

Valor por omissão: inverse

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas pseudo-aleatórias F. Os algoritmos implementados são ratio e inverse:

  • ratio, baseado no facto de que se X for uma variável aleatória \(Chi^2(m)\) e \(Y\) for uma variável aleatória \(Chi^2(n)\), então 
                            n X
                    F = ---
                        m Y

    é uma variável aleatória F com m e n graus de liberdade, \(F(m,n)\).

  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_f.

Função: random_f (m,n)
Função: random_f (m,n,k)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória F, \(F(m,n)\), com \(m,n>0\). Chamando random_f com um terceiro argumento k, uma amostra aleatória de tamanho k será simulada.

Existem dois algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_f_algorithm, cujo valor padrão é inverse.

Veja também random_f_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_exp (x,m)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na função de densidade de probabilidade de Weibull éretornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_exp(x,m);
                                        1
(%o2)                 pdf_weibull(x, 1, -)
                                        m
(%i3) assume(x>0,m>0)$  pdf_exp(x,m);
                                - m x
(%o4)                       m %e
Função: cdf_exp (x,m)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na distribuição de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_exp(x,m);
                                        1
(%o2)                 cdf_weibull(x, 1, -)
                                        m
(%i3) assume(x>0,m>0)$  cdf_exp(x,m);
                                 - m x
(%o4)                      1 - %e
Função: quantile_exp (q,m)

Retorna o q-quantil variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\); em outras palavras, essa função é inversa da função cdf_exp. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no qualtil de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_exp(0.56,5);
(%o2)                   .1641961104139661
(%i3) quantile_exp(0.56,m);
                                            1
(%o3)             quantile_weibull(0.56, 1, -)
                                            m
Função: mean_exp (m)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na média de Weibull é reornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_exp(m);
                                       1
(%o2)                  mean_weibull(1, -)
                                       m
(%i3) assume(m>0)$  mean_exp(m);
                                1
(%o4)                           -
                                m
Função: var_exp (m)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na variância de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_exp(m);
                                       1
(%o2)                   var_weibull(1, -)
                                       m
(%i3) assume(m>0)$  var_exp(m);
                               1
(%o4)                          --
                                2
                               m
Função: std_exp (m)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no desvio padrão de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_exp(m);
                                       1
(%o2)                   std_weibull(1, -)
                                       m
(%i3) assume(m>0)$  std_exp(m);
                                1
(%o4)                           -
                                m
Função: skewness_exp (m)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de assimetria de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_exp(m);
                                         1
(%o2)                skewness_weibull(1, -)
                                         m
(%i3) assume(m>0)$  skewness_exp(m);
(%o4)                           2
Função: kurtosis_exp (m)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\).

A variável aleatória \(Exponential(m)\) é equivalente a \(Weibull(1,1/m)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de curtose de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_exp(m);
                                         1
(%o2)                kurtosis_weibull(1, -)
                                         m
(%i3) assume(m>0)$  kurtosis_exp(m);
(%o4)                           6
Variável de opção: random_exp_algorithm

Valor por omissão: inverse

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis exponenciais estatística pseudo-aleatórias. Os algoritmos implementados são inverse, ahrens_cheng e ahrens_dieter

  • inverse, baseado no método inverso genérico.
  • ahrens_cheng, baseado no facto de que a variável aleatória \(Exp(m)\) é equivalente a \(Gamma(1,1/m)\). Veja random_gamma_algorithm para maiores detalhes.
  • ahrens_dieter, baseado no algoritmo descrito em Ahrens, J.H. e Dieter, U. (1972) Computer methods for sampling from the exponential and normal distributions. Comm, ACM, 15, Oct., 873-882.

Veja também random_exp.

Função: random_exp (m)
Função: random_exp (m,k)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Exponential(m)\), com \(m>0\). Chamando random_exp com um segundo argumento k, uma amostra aleatória de tamanho k será simulada.

Existem três algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_exp_algorithm, cujo valor padrão é inverse.

Veja também random_exp_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_lognormal (x,m,s)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_lognormal (x,m,s)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Essa função é definida em termos de funções erfde erro internas do Maxima. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) assume(x>0, s>0)$  cdf_lognormal(x,m,s);
                           log(x) - m
                       erf(----------)
                           sqrt(2) s     1
(%o3)                  --------------- + -
                              2          2

Veja também erf.

Função: quantile_lognormal (q,m,s)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_lognormal. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_lognormal (m,s)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_lognormal (m,s)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_lognormal (m,s)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_lognormal (m,s)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_lognormal (m,s)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_lognormal (m,s)
Função: random_lognormal (m,s,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Lognormal(m,s)\), com \(s>0\). Chamando random_lognormal com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Variáveis Log-normal são simuladas por meio de variáveis estatísticas normais pseudo-aleatórias. Existem dois algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_normal_algorithm, cujo valor padrão é box_mueller.

Veja também random_normal_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_gamma (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_gamma (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\).

Essa função não possui uma forma fechada e é calculada numericamante se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_gamma(3,5,21);
(%o2)                  cdf_gamma(3, 5, 21)
(%i3) %,numer;
(%o3)                 4.402663157135039E-7
Função: quantile_gamma (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_gamma. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_gamma (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_gamma (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_gamma (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_gamma (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_gamma (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_gamma_algorithm

Valor por omissão: ahrens_cheng

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatística gama pseudo-aleatórias. Os algoritmos implementados são ahrens_cheng e inverse

  • ahrens_cheng, essa é uma combinação de dois processos, dependendo do valor do parâmetro a:

    For \(a>=1\), Cheng, R.C.H. e Feast, G.M. (1979). Some simple gamma variate generators. Appl. Stat., 28, 3, 290-295.

    For \(0, Ahrens, J.H. e Dieter, U. (1974). Computer methods for sampling from gamma, beta, poisson and binomial cdf_tributions. Computing, 12, 223-246.

  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_gamma.

Função: random_gamma (a,b)
Função: random_gamma (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Gamma(a,b)\), com \(a,b>0\). Chamando random_gamma com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Existem dois algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_gamma_algorithm, cujo valor padrão é ahrens_cheng.

Veja também random_gamma_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_beta (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_beta (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\).

Essa função não possui uma forma fechada e é calculada numericamante se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_beta(1/3,15,2);
                                 1
(%o2)                   cdf_beta(-, 15, 2)
                                 3
(%i3) %,numer;
(%o3)                 7.666089131388224E-7
Função: quantile_beta (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_beta. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_beta (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_beta (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_beta (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_beta (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_beta (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_beta_algorithm

Valor por omissão: cheng

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas beta pseudo-aleatórias. Os algoritmos implementados são cheng, inverse e ratio

  • cheng, esse é o algoritmo definido em Cheng, R.C.H. (1978). Generating Beta Variates with Nonintegral Shape Parameters. Communications of the ACM, 21:317-322
  • inverse, baseado no método inverso genérico.
  • ratio, baseado no facto de que se X for uma variável aleatória \(Gamma(a,1)\) e Y for \(Gamma(b,1)\), então a razão \(X/(X+Y)\) está distribuída como \(Beta(a,b)\).

Veja também random_beta.

Função: random_beta (a,b)
Função: random_beta (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Beta(a,b)\), com \(a,b>0\). Chamando random_beta com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Existem três algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_beta_algorithm, cujo valor padrão é cheng.

Veja também random_beta_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_continuous_uniform (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_continuous_uniform (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_continuous_uniform (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a; em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_continuous_uniform. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_continuous_uniform (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_continuous_uniform (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_continuous_uniform (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_continuous_uniform (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_continuous_uniform (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_continuous_uniform (a,b)
Função: random_continuous_uniform (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Continuous Uniform(a,b)\), com \(a. Chamando random_continuous_uniform com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Essa é uma aplicação directa da função random interna do Maxima.

Veja também random. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_logistic (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\) , com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_logistic (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_logistic (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\) , com \(b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_logistic. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: meanlog (a,b)

Retorna a média de uma \(Logistic(a,b)\) variável aleatória , com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_logistic (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\) , com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_logistic (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\) , com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_logistic (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\) , com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_logistic (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Logistic(a,b)\) , com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_logistic (a,b)
Função: random_logistic (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Logistic(a,b)\), com \(b>0\). Chamando random_logistic com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_pareto (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_pareto (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_pareto (q,a,b)

Retorna o q-quantile de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a,b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_pareto. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_pareto (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a>1,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_pareto (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a>2,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_pareto (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a>2,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_pareto (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a>3,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_pareto (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a>4,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_pareto (a,b)
Função: random_pareto (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Pareto(a,b)\), com \(a>0,b>0\). Chamando random_pareto com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_weibull (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_weibull (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_weibull (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_weibull. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_weibull (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_weibull (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_weibull (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_weibull (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_weibull (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_weibull (a,b)
Função: random_weibull (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Weibull(a,b)\), com \(a,b>0\). Chamando random_weibull com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_rayleigh (x,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na função densidade de probabilidade de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_rayleigh(x,b);
                                        1
(%o2)                 pdf_weibull(x, 2, -)
                                        b
(%i3) assume(x>0,b>0)$ pdf_rayleigh(x,b);
                                    2  2
                           2     - b  x
(%o4)                   2 b  x %e
Função: cdf_rayleigh (x,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na distribuição de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_rayleigh(x,b);
                                        1
(%o2)                 cdf_weibull(x, 2, -)
                                        b
(%i3) assume(x>0,b>0)$ cdf_rayleigh(x,b);
                                   2  2
                                - b  x
(%o4)                     1 - %e
Função: quantile_rayleigh (q,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_rayleigh. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no quantil de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_rayleigh(0.99,b);
                                            1
(%o2)             quantile_weibull(0.99, 2, -)
                                            b
(%i3) assume(x>0,b>0)$ quantile_rayleigh(0.99,b);
                        2.145966026289347
(%o4)                   -----------------
                                b
Função: mean_rayleigh (b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na meia de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_rayleigh(b);
                                       1
(%o2)                  mean_weibull(2, -)
                                       b
(%i3) assume(b>0)$ mean_rayleigh(b);
                            sqrt(%pi)
(%o4)                       ---------
                               2 b
Função: var_rayleigh (b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na variância de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_rayleigh(b);
                                       1
(%o2)                   var_weibull(2, -)
                                       b
(%i3) assume(b>0)$ var_rayleigh(b);
                                 %pi
                             1 - ---
                                  4
(%o4)                        -------
                                2
                               b
Função: std_rayleigh (b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na Weibull desvio padrão é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_rayleigh(b);
                                       1
(%o2)                   std_weibull(2, -)
                                       b
(%i3) assume(b>0)$ std_rayleigh(b);
                                   %pi
                          sqrt(1 - ---)
                                    4
(%o4)                     -------------
                                b
Função: skewness_rayleigh (b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de assimetria de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_rayleigh(b);
                                         1
(%o2)                skewness_weibull(2, -)
                                         b
(%i3) assume(b>0)$ skewness_rayleigh(b);
                         3/2
                      %pi      3 sqrt(%pi)
                      ------ - -----------
                        4           4
(%o4)                 --------------------
                               %pi 3/2
                          (1 - ---)
                                4
Função: kurtosis_rayleigh (b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\).

A variável aleatória \(Rayleigh(b)\) é equivalente a \(Weibull(2,1/b)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de curtose de Weibull é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_rayleigh(b);
                                         1
(%o2)                kurtosis_weibull(2, -)
                                         b
(%i3) assume(b>0)$ kurtosis_rayleigh(b);
                                  2
                             3 %pi
                         2 - ------
                               16
(%o4)                    ---------- - 3
                              %pi 2
                         (1 - ---)
                               4
Função: random_rayleigh (b)
Função: random_rayleigh (b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Rayleigh(b)\), com \(b>0\). Chamando random_rayleigh com um segundo argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_laplace (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_laplace (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_laplace (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_laplace. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_laplace (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_laplace (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_laplace (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_laplace (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_laplace (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_laplace (a,b)
Função: random_laplace (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Laplace(a,b)\), com \(b>0\). Chamando random_laplace com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_cauchy (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Cauchy(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_cauchy (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Cauchy(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_cauchy (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Cauchy(a,b)\), com \(b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_cauchy. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_cauchy (a,b)
Função: random_cauchy (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo aleatória \(Cauchy(a,b)\), com \(b>0\). Chamando random_cauchy com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_gumbel (x,a,b)

Retorna o valor em x da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_gumbel (x,a,b)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_gumbel (q,a,b)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_gumbel. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_gumbel (a,b)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) assume(b>0)$  mean_gumbel(a,b);
(%o3)                     %gamma b + a

onde o símbolol %gamma representa a constante de Euler-Mascheroni. Veja também %gamma.

Função: var_gumbel (a,b)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_gumbel (a,b)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_gumbel (a,b)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) assume(b>0)$ skewness_gumbel(a,b);
                       12 sqrt(6) zeta(3)
(%o3)                  ------------------
                                 3
                              %pi
(%i4) numer:true$ skewness_gumbel(a,b);
(%o5)                   1.139547099404649

onde zeta representa a função zeta de Riemann.

Função: kurtosis_gumbel (a,b)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_gumbel (a,b)
Função: random_gumbel (a,b,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Gumbel(a,b)\), com \(b>0\). Chamando random_gumbel com um terceiro argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Somente o método inverso genérico está implementado. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

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46.3, Definições para distribuições discretas

Função: pdf_binomial (x,n,p)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma \(Binomial(n,p)\) variável aleatória, com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_binomial (x,n,p)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma \(Binomial(n,p)\) variável aleatória, com \(0 e \(n\) um inteiro positivo.

cdf_binomial é calculada numéricamente se a variável global numer for igual a true, de outra forma cdf_binomial retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_binomial(5,7,1/6);
                                         1
(%o2)                 cdf_binomial(5, 7, -)
                                         6
(%i3) cdf_binomial(5,7,1/6), numer;
(%o3)                   .9998713991769548
Função: quantile_binomial (q,n,p)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo; em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_binomial. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_binomial (n,p)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_binomial (n,p)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_binomial (n,p)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_binomial (n,p)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_binomial (n,p)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_binomial_algorithm

Valor por omissão: kachit

Esse é o algoritmo seleccionado para simular rvariáveis estatísticas pseudo-aleatórias binomiais. Os algoritmos implementados são kachit, bernoulli e inverse:

  • kachit, baseado no algoritmo descrito em Kachitvichyanukul, V. and Schmeiser, B.W. (1988) Binomial Random Variate Generation. Communications of the ACM, 31, Feb., 216.
  • bernoulli, baseado na simulação testes de Bernoulli.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_binomial.

Função: random_binomial (n,p)
Função: random_binomial (n,p,m)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Chamando random_binomial com um terceiro argumento m, uma amostra aleatória de tamanho m será simulada.

Existem três algoritmos implementado para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_binomial_algorithm, cujo valor padrão é kachit.

Veja também random_binomial_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_poisson (x,m)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_poisson (x,m)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\).

Essa função é calculada numéricamente se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_poisson(3,5);
(%o2)                   cdf_poisson(3, 5)
(%i3) cdf_poisson(3,5), numer;
(%o3)                   .2650259152973617
Função: quantile_poisson (q,m)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_poisson. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_poisson (m)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_poisson (m)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_poisson (m)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_poisson (m)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_poisson (m)

Retorna o coeficiente de curtose de uma Poisson variável aleatória \(Poi(m)\), com \(m>0\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_poisson_algorithm

Valor por omissão: ahrens_dieter

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas pseudo-aleatórias de Poisson.Os algoritmos implementados são ahrens_dieter e inverse:

  • ahrens_dieter, baseado no algoritmo descrito em Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1982) Computer Generation of Poisson Deviates From Modified Normal Distributions. ACM Trans. Math. Software, 8, 2, June,163-179.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_poisson.

Função: random_poisson (m)
Função: random_poisson (m,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Poisson(m)\), com \(m>0\). Chamando random_poisson com um segundo argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Existem dois algoritmos implementado para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_poisson_algorithm, cujo valor padrão é ahrens_dieter.

Veja também random_poisson_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_bernoulli (x,p)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0.

A variável aleatória \(Bernoulli(p)\) é equivalente a \(Binomial(1,p)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na função binomial de probabilidade é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_bernoulli(1,p);
(%o2)                 pdf_binomial(1, 1, p)
(%i3) assume(0<p,p<1)$ pdf_bernoulli(1,p);
(%o4)                           p
Função: cdf_bernoulli (x,p)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_bernoulli (q,p)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0; em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_bernoulli. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_bernoulli (p)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0.

A variável aleatória \(Bernoulli(p)\) é equivalente a \(Binomial(1,p)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na média binomial é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_bernoulli(p);
(%o2)                  mean_binomial(1, p)
(%i3) assume(0<p,p<1)$ mean_bernoulli(p);
(%o4)                           p
Função: var_bernoulli (p)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0.

A variável aleatória \(Bernoulli(p)\) é equivalente a \(Binomial(1,p)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada na variância binomial é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_bernoulli(p);
(%o2)                  var_binomial(1, p)
(%i3) assume(0<p,p<1)$ var_bernoulli(p);
(%o4)                       (1 - p) p
Função: std_bernoulli (p)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0.

A variável aleatória \(Bernoulli(p)\) é equivalente a \(Binomial(1,p)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no desvio padrão binomial é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_bernoulli(p);
(%o2)                  std_binomial(1, p)
(%i3) assume(0<p,p<1)$ std_bernoulli(p);
(%o4)                  sqrt(1 - p) sqrt(p)
Função: skewness_bernoulli (p)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0.

A variável aleatória \(Bernoulli(p)\) é equivalente a \(Binomial(1,p)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de assimetria binomial é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_bernoulli(p);
(%o2)                skewness_binomial(1, p)
(%i3) assume(0<p,p<1)$ skewness_bernoulli(p);
                             1 - 2 p
(%o4)                  -------------------
                       sqrt(1 - p) sqrt(p)
Função: kurtosis_bernoulli (p)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0.

A variável aleatória \(Bernoulli(p)\) é equivalente a \(Binomial(1,p)\), embora quando Maxima não tiver informação disponível para pegar o resultado, uma forma nominal baseada no coeficiente de curtose binomial é retornada. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_bernoulli(p);
(%o2)                kurtosis_binomial(1, p)
(%i3) assume(0<p,p<1)$ kurtosis_bernoulli(p);
                         1 - 6 (1 - p) p
(%o4)                    ---------------
                            (1 - p) p
Função: random_bernoulli (p)
Função: random_bernoulli (p,n)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Bernoulli(p)\), com \(0. Chamando random_bernoulli com um segundo argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Essa é uma aplicação directa da função random built-in função do Maxima.

Veja também random. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_geometric (x,p)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_geometric (x,p)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_geometric (q,p)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0; em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_geometric. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_geometric (p)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_geometric (p)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_geometric (p)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_geometric (p)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Geometric(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_geometric (p)

Retorna o coeficiente de curtose de uma geometric variável aleatória \(Geo(p)\), com \(0. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_geometric_algorithm

Valor por omissão: bernoulli

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas pseudo-aleatórias geométricas. Algorítmos implementados são bernoulli, devroye e inverse:

  • bernoulli, baseado na simulação de testes de Bernoulli.
  • devroye, baseado no algoritmo descrito em Devroye, L. (1986) Non-Uniform Random Variate Generation. Springer Verlag, p. 480.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_geometric.

Função: random_geometric (p)
Função: random_geometric (p,n)

Retorna um \(Geometric(p)\) variável estatística pseudo-aleatória, com \(0. Chamando random_geometric com um segundo argumento n, uma amostra aleatória de tamanho n será simulada.

Existem três algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_geometric_algorithm, cujo valor padrão é bernoulli.

Veja também random_geometric_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_discrete_uniform (x,n)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) a strictly positive integer. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_discrete_uniform (x,n)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) inteiro estritamente positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_discrete_uniform (q,n)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo; em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_discrete_uniform. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_discrete_uniform (n)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_discrete_uniform (n)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_discrete_uniform (n)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_discrete_uniform (n)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_discrete_uniform (n)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: random_discrete_uniform (n)
Função: random_discrete_uniform (n,m)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Discrete Uniform(n)\), com \(n\) um inteiro estritamente positivo. Chamando random_discrete_uniform com um segundo argumento m, uma amostra aleatória de tamanho m será simulada.

Isso é uma aplicação directa da função random built-in função do Maxima.

Veja também random. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_hypergeometric (x,n1,n2,n)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma variável aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_hypergeometric (x,n1,n2,n)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma variável aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: quantile_hypergeometric (q,n1,n2,n)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\); em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_hypergeometric. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_hypergeometric (n1,n2,n)

Retorna a média de uma variável aleatória discreta univorme \(Hyp(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_hypergeometric (n1,n2,n)

Retorna a variância de uma variável aleatória hipergeométrica \(Hyp(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_hypergeometric (n1,n2,n)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_hypergeometric (n1,n2,n)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_hypergeometric (n1,n2,n)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_hypergeometric_algorithm

Valor por omissão: kachit

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas pseudo aleatórias hipergeométricas.Os algoritmos implementados são kachit e inverse:

  • kachit, baseado no algoritmo descrito em Kachitvichyanukul, V., Schmeiser, B.W. (1985) Computer generation of hypergeometric variáveis estatística pseudo-aleatórias. Journal of Statistical Computation and Simulation 22, 127-145.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_hypergeometric.

Função: random_hypergeometric (n1,n2,n)
Função: random_hypergeometric (n1,n2,n,m)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Hypergeometric(n1,n2,n)\), com n1, n2 e n inteiros não negativos e \(n<=n1+n2\). Chamando random_hypergeometric com um quarto argumento m, uma amostra aleatória de tamanho m será simulada.

Existem dois algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_hypergeometric_algorithm, cujo valor padrão é kachit.

Veja também random_hypergeometric_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: pdf_negative_binomial (x,n,p)

Retorna o valor em x da função de probabilidade de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: cdf_negative_binomial (x,n,p)

Retorna o valor em x da função distribuição de probabilidade de uma \(Negative Binomial(n,p)\) variável aleatória, com \(0 e \(n\) um inteiro positivo.

Essa função é calculada numéricamente se a variável global numer for igual a true, de outra forma essa função retorna uma expressão nominal. 

(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
                                             1
(%o2)            cdf_negative_binomial(3, 4, -)
                                             8
(%i3) cdf_negative_binomial(3,4,1/8), numer;
(%o3)                  .006238937377929698
Função: quantile_negative_binomial (q,n,p)

Retorna o q-quantil de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo; em outras palavras, essa função é a inversa da função cdf_negative_binomial. O argumento q deve ser um elemento de \([0,1]\). Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: mean_negative_binomial (n,p)

Retorna a média de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: var_negative_binomial (n,p)

Retorna a variância de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: std_negative_binomial (n,p)

Retorna o desvio padrão de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: skewness_negative_binomial (n,p)

Retorna o coeficiente de assimetria de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Função: kurtosis_negative_binomial (n,p)

Retorna o coeficiente de curtose de uma variável aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

Variável de opção: random_negative_binomial_algorithm

Valor por omissão: bernoulli

Esse é o algoritmo seleccionado para simular variáveis estatísticas pseuso-aleatórias binomiais negativas. Os algoritmos implementados são devroye, bernoulli e inverse:

  • devroye, baseado no algoritmo descrito em Devroye, L. (1986) Non-Uniform Random Variate Generation. Springer Verlag, p. 480.
  • bernoulli, baseado na simulação de testes de Bernoulli.
  • inverse, baseado no método inverso genérico.

Veja também random_negative_binomial.

Função: random_negative_binomial (n,p)
Função: random_negative_binomial (n,p,m)

Retorna uma variável estatística pseudo-aleatória \(Negative Binomial(n,p)\), com \(0 e \(n\) um inteiro positivo. Chamando random_negative_binomial com um terceiro argumento m, uma amostra aleatória de tamanho m será simulada.

Existem três algoritmos implementados para essa função, se pode seleccionar o algoritmo a ser usado fornecendo um certo valor à variável global random_negative_binomial_algorithm, cujo valor padrão é bernoulli.

Veja também random_negative_binomial_algorithm. Para fazer uso dessa função, escreva primeiramente load("distrib").

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