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Maxima contém funções taylor e powerseries (séries de potência) para encontrar as
séries de funções diferenciáveis. Maxima também tem ferramentas tais como nusum
capazes de encontrar a forma fechada de algumas séries. Operações tais como adição e multiplicação travalham da forma usual sobre séries. Essa secção apresenta as variáveis globais que controlam a
expansão.
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Valor por omissão: false
Quando multiplicando adições jutas com inf como seus limites superiores,
se sumexpand for true e cauchysum for true
então o produto de Cauchy será usado em lugar do produto
usual.
No produto de Cauchy o índice do somatório interno é uma
função do índice do externo em lugar de variar
independentemente.
Exemplo:
(%i1) sumexpand: false$
(%i2) cauchysum: false$
(%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
inf inf
==== ====
\ \
(%o3) ( > f(i)) > g(j)
/ /
==== ====
i = 0 j = 0
(%i4) sumexpand: true$
(%i5) cauchysum: true$
(%i6) ''s;
inf i1
==== ====
\ \
(%o6) > > g(i1 - i2) f(i2)
/ /
==== ====
i1 = 0 i2 = 0
Para cada função f_i de uma variável x_i,
deftaylor define expr_i como a séries de Taylor sobre zero.
expr_i é tipicamente um polinómio em x_i ou um somatório;
expressões mais gerais são aceitas por deftaylor sem reclamações.
powerseries (f_i(x_i), x_i, 0)
retorna as séries definidas por deftaylor.
deftaylor retorna uma lista das funções
f_1, ..., f_n.
deftaylor avalia seus argumentos.
Exemplo:
(%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
(%o1) [f]
(%i2) powerseries (f(x), x, 0);
inf
==== i1
\ x 2
(%o2) > -------- + x
/ i1 2
==== 2 i1!
i1 = 4
(%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
2 3 4
x 3073 x 12817 x
(%o3)/T/ 1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
2 18432 307200
Valor por omissão: true
Quando maxtayorder for true, durante a manipulação
algébrica de séries (truncadas) de Taylor, taylor tenta reter
tantos termos quantos forem conhecidos serem correctos.
Renomeia os índices de adições e produtos em expr.
niceindices tenta renomear cada índice para o valor de niceindicespref[1],
a menos que o nome apareça nas parcelas do somatório ou produtório,
nesses casos niceindices tenta
os elementos seguintes de niceindicespref por sua vez, até que uma varável não usada unused variable seja encontrada.
Se a lista inteira for exaurida,
índices adicionais são constrídos através da anexaao de inteiros ao valor de
niceindicespref[1], e.g., i0, i1, i2, ....
niceindices retorna uma expressão.
niceindices avalia seu argumento.
Exemplo:
(%i1) niceindicespref;
(%o1) [i, j, k, l, m, n]
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j l + k)
! ! /
l = 1 ====
k = 1
Valor por omissão: [i, j, k, l, m, n]
niceindicespref é a lista da qual niceindices
obtém os nomes dos índices de adições e produtos products.
Os elementos de niceindicespref são tipicamente nomes de variáveis,
embora que não seja imposto por niceindices.
Exemplo:
(%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j q + p)
! ! /
q = 1 ====
p = 1
Realiza o somatório hipergeométrico indefinido de expr com relação a x usando um procedimento de decisão devido a R.W. Gosper. expr e o resultado deve ser expressável como produtos de expoentes inteiros, factoriais, binomios, e funções recionais.
Os termos "definido"
and "e somatório indefinido" são usados analogamente a "definida" and
"integração indefinida".
Adicionar indefinidamente significa dar um resultado simólico
para a adição sobre intervalos de comprimentos de variáveis, não apenas e.g. 0 a
infinito. Dessa forma, uma vez que não existe fórmula para a adição parcial geral de
séries binomiais, nusum não pode fazer isso.
nusum e unsum conhecem um porco sobre adições e subtrações de produtos finitos.
Veja também unsum.
Exemplos:
(%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
Dependent equations eliminated: (1)
(%o1) (n + 1)! - 1
(%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o2) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i3) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o3) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
n - 1
/===\
! ! 2
(%o4) ( ! ! i ) (n - 1) (n + 1)
! !
i = 1
(%i5) nusum (%, n, 1, n);
Dependent equations eliminated: (2 3)
n
/===\
! ! 2
(%o5) ! ! i - 1
! !
i = 1
Retorna uma lista de todas as funções racionais que possuem a dada expansão da séries de Taylor onde a adição dos graus do numerador e do denominador é menor que ou igual ao nível de truncação das séries de potência, i.e. são "melhores" aproximações, e que adicionalmente satisfazem o grau especificado associado.
taylor_series é uma séries de Taylor de uma variável. numer_deg_bound e denom_deg_bound são inteiros positivos especificando o grau associado sobre o numerador e o denominador.
taylor_series podem também ser séries de Laurent, e o grau
associado pode ser inf que acarreta todas funções racionais cujo grau
total for menor que ou igual ao comprimento das séries de potências a serem
retornadas. O grau total é definido como numer_deg_bound + denom_deg_bound.
O comprimento de séries de potência é definido como
"nível de trncação" + 1 - min(0, "ordem das séries").
(%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
2 3
(%o1)/T/ 1 + x + x + x + . . .
(%i2) pade (%, 1, 1);
1
(%o2) [- -----]
x - 1
(%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
+ 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
+ 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
+ 67108864*x - 134217728)
/134217728, x, 0, 10);
2 3 4 5 6 7
x 3 x x 15 x 23 x 21 x 189 x
(%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
2 16 32 1024 2048 32768 65536
8 9 10
5853 x 2847 x 83787 x
+ ------- + ------- - --------- + . . .
4194304 8388608 134217728
(%i4) pade (t, 4, 4);
(%o4) []
Não existe função racional de grau 4 numerador/denominador, com essa expansão de série de potência. Você obrigatoriamente em geral tem grau do numerador e grau do denominador adicionando para cima ao menor grau das séries de potência, com o objectivo de ter disponível coeficientes desconhecidos para resolver.
(%i5) pade (t, 5, 5);
5 4 3
(%o5) [- (520256329 x - 96719020632 x - 489651410240 x
2
- 1619100813312 x - 2176885157888 x - 2386516803584)
5 4 3
/(47041365435 x + 381702613848 x + 1360678489152 x
2
+ 2856700692480 x + 3370143559680 x + 2386516803584)]
Valor por omissão: false
Quando powerdisp for true,
uma adição é mostrada com seus termos em ordem do crescimento do expoente.
Dessa forma um polinómio é mostrado como séries de potências truncadas,
com o termo constante primeiro e o maior expoente por último.
Por padão, termos de uma adição são mostrados em ordem do expoente decrescente.
Retorna a forma geral expansão de séries de potência para expr
na variável x sobre o ponto a (o qual pode ser inf para infinito).
Se powerseries incapaz de expandir expr,
taylor pode dar os primeiros muitos termos de séries.
Quando verbose for true,
powerseries mostra mensagens de progresso.
(%i1) verbose: true$
(%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
can't expand
log(sin(x))
so we'll try again after applying the rule:
d
/ -- (sin(x))
[ dx
log(sin(x)) = i ----------- dx
] sin(x)
/
in the first simplification we have returned:
/
[
i cot(x) dx - log(x)
]
/
inf
==== i1 2 i1 2 i1
\ (- 1) 2 bern(2 i1) x
> ------------------------------
/ i1 (2 i1)!
====
i1 = 1
(%o2) -------------------------------------
2
Valor por omissão: false
Quando psexpand for true,
uma expressão função racional extendida é mostrada completamente expandida.
O comutador ratexpand tem o mesmo efeito.
Quando psexpand for false,
uma expressão de várias variáveis é mostrada apenas como no pacote de função racional.
Quando psexpand for multi,
então termos com o mesmo grau total nas variáveis são agrupados juntos.
Essas funções retornam a reversão de expr, uma série de Taylor sobre zero na variável x.
revert retorna um polinómio de grau igual ao maior expoente em expr.
revert2 retorna um polinómio de grau n,
o qual pode ser maior que, igual a, ou menor que o grau de expr.
load ("revert") chama essas funções.
Exemplos:
(%i1) load ("revert")$
(%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
2 3 4 5 6
x x x x x
(%o2)/T/ x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
2 6 24 120 720
(%i3) revert (t, x);
6 5 4 3 2
10 x - 12 x + 15 x - 20 x + 30 x - 60 x
(%o3)/R/ - --------------------------------------------
60
(%i4) ratexpand (%);
6 5 4 3 2
x x x x x
(%o4) - -- + -- - -- + -- - -- + x
6 5 4 3 2
(%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
2 3 4 5 6
x x x x x
(%o5)/T/ x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
2 3 4 5 6
(%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
(%o6) 0
(%i7) revert2 (t, x, 4);
4 3 2
x x x
(%o7) - -- + -- - -- + x
4 3 2
taylor (expr, x, a, n) expande a expressão expr
em uma série truncada de Taylor ou de Laurent na variável x
em torno do ponto a,
contendo termos até (x - a)^n.
Se expr é da forma f(x)/g(x)
e g(x) não possui de grau acima do grau n
então taylor tenta expandir g(x) acima do gau 2 n.
Se existe ainda termos não zero, taylor dobra o
grau de expansão de g(x)
contanto que o grau da expansão o grau da expansão seja menor que ou igual a n 2^taylordepth.
taylor (expr, [x_1, x_2, ...], a, n)
retorna uma série de potência truncada
de grau n em todas as variáveis x_1, x_2, ...
sobre o ponto (a, a, ...).
taylor (expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2, a_2, n_2], ...)
retorna uma série de potência truncada nas variáveis x_1, x_2, ...
sobre o ponto (a_1, a_2, ...),
truncada em n_1, n_2, ....
taylor (expr, [x_1, x_2, ...], [a_1, a_2, ...], [n_1, n_2, ...])
retorna uma série de potência truncada nas variáveis x_1, x_2, ...
sobre o ponto (a_1, a_2, ...),
truncada em n_1, n_2, ....
taylor (expr, [x, a, n, 'asymp])
retorna uma expansão de expr em expoentes negativos de x - a.
O termo de maior ordem é (x - a)^-n.
Quando maxtayorder for true, então durante maniplulação
algébrica da séries de Taylor (truncada), taylor tenta reter
tantos termos quantos forem conhecidos serem correctos.
Quando psexpand for true,
uma expressão de função racional extendida é mostrada completamente expandida.
O comutador ratexpand tem o mesmo efeito.
Quando psexpand for false,
uma expressão de várias variáveis é mostrada apenas como no pacote de função racional.
Quando psexpand for multi,
então os termos com o mesmo grau total nas variáveis são agrupados juntos.
Veja também o comutador taylor_logexpand para controlar a expansão.
Exemplos:
(%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
2 2
(a + 1) x (a + 2 a + 1) x
(%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
2 8
3 2 3
(3 a + 9 a + 9 a - 1) x
+ -------------------------- + . . .
48
(%i2) %^2;
3
x
(%o2)/T/ 1 + (a + 1) x - -- + . . .
6
(%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
2 3 4 5
x x x 5 x 7 x
(%o3)/T/ 1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
2 8 16 128 256
(%i4) %^2;
(%o4)/T/ 1 + x + . . .
(%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
inf
/===\
! ! i 2.5
! ! (x + 1)
! !
i = 1
(%o5) -----------------
2
x + 1
(%i6) ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
2 3
(%o6)/T/ 1 + 2.5 x + 3.375 x + 6.5625 x + . . .
(%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
2 3
1 1 x x 19 x
(%o7)/T/ - + - - -- + -- - ----- + . . .
x 2 12 24 720
(%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
4
2 x
(%o8)/T/ - x - -- + . . .
6
(%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
(%o9)/T/ 0 + . . .
(%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
2 4
1 1 11 347 6767 x 15377 x
(%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
6 4 2 15120 604800 7983360
x 2 x 120 x
+ . . .
(%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
2 2 4 2 4
k x (3 k - 4 k ) x
(%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
2 24
6 4 2 6
(45 k - 60 k + 16 k ) x
- -------------------------- + . . .
720
(%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
2 2 3 2 3
(n - n) x (n - 3 n + 2 n) x
(%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
2 6
4 3 2 4
(n - 6 n + 11 n - 6 n) x
+ ---------------------------- + . . .
24
(%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
3 2
y y
(%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
6 2
3 2
y y 2 1 y 3
+ (- - + -- + . . .) x + (- - + -- + . . .) x + . . .
2 12 6 12
(%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
3 2 2 3
x + 3 y x + 3 y x + y
(%o14)/T/ y + x - ------------------------- + . . .
6
(%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
1 y 1 1 1 2
(%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
y 6 2 6 3
y y
1 3
+ (- -- + . . .) x + . . .
4
y
(%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
3 2 2 3
1 x + y 7 x + 21 y x + 21 y x + 7 y
(%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
x + y 6 360
Valor por omissão: 3
Se existem ainda termos não zero, taylor dobra o
grau da expansão de g(x)
contanto que o grau da expansão seja menor que ou igual a n 2^taylordepth.
Retorna information about the séries de Taylor expr. O valor de retorno é uma lista de listas. Cada lista compreende o nome de uma variável, o ponto de expansão, e o grau da expansão.
taylorinfo retorna false se expr não for uma séries de Taylor.
Exemplo:
(%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
2 2
(%o1)/T/ - (y - a) - 2 a (y - a) + (1 - a )
2 2
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
2 2 2
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
2 2 3
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x + . . .
(%i2) taylorinfo(%);
(%o2) [[y, a, inf], [x, 0, 3]]
Retorna true se expr for uma séries de Taylor,
e false de outra forma.
Valor por omissão: true
taylor_logexpand controla expansão de logaritmos em
séries de taylor.
Quando taylor_logexpand for true, todos logaritmos são expandidos completamente dessa forma
problemas de reconhecimento de zero envolvendo envolvendo identidades logarítmicas não
atrapalham o processo de expansão. Todavia, esse esquema não é sempre
matematicamente correcto uma vez que isso ignora informações de ramo.
Quando taylor_logexpand for escolhida para false, então a expansão logarítmica que ocorre
é somente aquela que for necessária para obter uma séries de potência formal.
Valor por omissão: true
taylor_order_coefficients controla a ordenação dos
coeficientes em uma série de Taylor.
Quando taylor_order_coefficients for true,
coeficientes da séries de Taylor são ordenados canonicamente.
Simplifica coeficientes da séries de potência expr.
taylor chama essa função.
Valor por omissão: true
Quando taylor_truncate_polynomials for true,
polinómios são truncados baseados sobre a entrada de níveis de truncação.
De outra forma,
entrada de polinómios para taylor são consideradas terem precisão infinita.
Converte expr da forma taylor para a forma de expressão racional canónica (CRE).
O efeito é o mesmo que rat (ratdisrep (expr)), mas mais rápido.
Coloca notas na representação interna da expressão geral expr de modo que isso é mostrado como se suas adições forem séries de Taylor truncadas. expr is not otherwise modified.
Exemplo:
(%i1) expr: x^2 + x + 1;
2
(%o1) x + x + 1
(%i2) trunc (expr);
2
(%o2) 1 + x + x + . . .
(%i3) is (expr = trunc (expr));
(%o3) true
Retorna a primeira diferençã de trás para frente f(n) - f(n - 1).
Dessa forma unsum logicamente é a inversa de sum.
Veja também nusum.
Exemplos:
(%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
n
p 4
(%o1) g(p) := ----------------
binomial(2 n, n)
(%i2) g(n^4);
4 n
n 4
(%o2) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i3) nusum (%, n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o3) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i4) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o4) ----------------
binomial(2 n, n)
Valor por omissão: false
Quando verbose for true,
powerseries mostra mensagens de progresso.
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