Maxima inclui suporte a funções elípticas Jacobianas e a integrais elípticas completas e incompletas. Isso inclui manipulação simbólica dessas funções e avaliação numérica também. Definições dessas funções e muitas de suas propriedades podem ser encontradas em Abramowitz e Stegun, Capítulos 16–17. Tanto quanto possível, usamos as definições e relações dadas aí.
Em particular, todas as funções elípticas e integrais elípticas usam o parâmetro \(m\) em lugar de módulo \(k\) ou o ângulo modular \(\alpha\). Isso é uma área onde discordamos de Abramowitz e Stegun que usam o ângulo modular para as funções elípticas. As seguintes relações são verdadeiras:
As funções elípticas e integrais elípticas estão primariamente tencionando suportar computação simbólica. Portanto, a maiora das derivadas de funções e integrais são conhecidas. Todavia, se valores em ponto flutuante forem dados, um resultado em ponto flutuante é retornado.
Suporte para a maioria de outras propriedades das funções elípticas e integrais elípticas além das derivadas não foram ainda escritas.
Alguns exemplos de funções elípticas:
(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1) jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2) tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3) sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
(u - ------------------------------------)/(2 m)
1 - m
2
jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
+ --------------------------------
2 (1 - m)
Alguns exemplos de integrais elípticas:
(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1) elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2) phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
phi %pi
(%o3) log(tan(--- + ---))
2 4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4) sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5) phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
1
(%o6) elliptic_kc(-)
2
(%i7) makegamma (%);
2 1
gamma (-)
4
(%o7) -----------
4 sqrt(%pi)
(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
1
(%o8) ---------------------
2
sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
m
cos(phi) sin(phi)
- ---------------------)/(2 (1 - m))
2
sqrt(1 - m sin (phi))
Suporte a funções elípticas e integrais elípticas foi escrito por Raymond Toy. Foi colocado sob os termos da Licençã Pública Geral (GPL) que governa a distribuição do Maxima.
A Função elíptica Jacobiana \(sn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(cn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(dn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(ns(u,m) = 1/sn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(nc(u,m) = 1/cn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(nc(u,m) = 1/cn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m)\).
A função elíptica Jacobiana \(dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(sn(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(cn(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(dn(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(ns(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(sc(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(sd(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(nc(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(cs(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(cd(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(nc(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(ds(u,m)\).
A inversa da função elíptica Jacobiana \(dc(u,m)\).
A integral elíptica incompleta de primeiro tipo, definida como
\(integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
Veja também elliptic_e e elliptic_kc.
A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como
\(elliptic_e(u, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\) Veja também elliptic_e e elliptic_ec.
A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como \(integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)\)
onde \(tau = sn(u,m)\)
Isso é relacionado a \(elliptic_e\) através de Veja também elliptic_e.
A integral elíptica incompleta de terceiro tipo, definida como
\(integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
Somente a derivada em relação a \(phi\) é conhecida pelo Maxima.
A integral elíptica completa de primeiro tipo, definida como
\(integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)\)
Para certos valores de \(m\), o valor da integral é conhecido em
termos de funções \(Gama\). Use makegamma para avaliar esse valor.
A integral elíptica completa de segundo tipo, definida como
\(integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)\)
Para certos valores de \(m\), o valor da integral é conhecido em
termos de funções \(Gama\). Use makegamma para avaliar esse valor.