zeilbergerは
超幾何定総和に関するZeilbergerのアルゴリズムと
超幾何不定総和に関するGosperのアルゴリズムの実装します。
zeilbergerは
Axel Rieseによって開発された「フィルタリング」最適化法を利用します。
zeilbergerはFabrizio Carusoによって開発されました。
load ("zeilberger")はこのパッケージをロードします。
zeilbergerは
超幾何不定総和に関するGosperのアルゴリズムの実装します。
\(k\)の超幾何項\(F_k\)が与えられたとして、
超幾何反差(anti-difference)、すなわち、以下のような超幾何項\(f_k\)
を見つけることを望みます。
\(F_k = f_(k+1) - f_k\).
zeilbergerは
超幾何定総和に関するGosperのアルゴリズムの実装します。
適当な(\(n\)と\(k\)に関する)超幾何項
\(F_(n,k)\)
と正の整数\(d\)が与えられたとして、
\(F_(n,k)\)
に関する(\(n\)に関する)多項式係数を持つ\(d\)次の線形漸化式と、
\(a_0 F_(n,k) + ... + a_d F_(n+d),k = Delta_k(R(n,k) F_(n,k))\),
のような\(n\)と\(k\)に関する有理函数\(R\)を見つけることを望みます。
ここで、 \(Delta_k\) は \(k\)-順方向差分演算子です。すなわち、 \(Delta_k(t_k) := t_(k+1) - t_k\).
以下の接尾辞の1つを追加することでコールされる出力が冗長なバージョンのコマンドもあります:
Summary終わりにサマリだけが表示されます。
Verbose中間ステップでのある情報。
VeryVerbose更なる情報。
ExtraZeilbergerのアルゴリズムでの線形系上の情報を含む更なる情報。
例えば:
GosperVerbose, parGosperVeryVerbose,
ZeilbergerExtra, AntiDifferenceSummary.
もし存在すれば、\(F_k\)の超幾何反差を返します。
そうでなければ、 AntiDifferenceは
no_hyp_antidifferenceを返します。
もし存在すれば、
\(F_k\)に対する有理証(rational certificate)、
すなわち、
以下のような有理函数を返します。
\(F_k = R(k+1) F_(k+1) - R(k) F_k\),
そうでなければ、 Gosperは no_hyp_solを返します。
もし \(F_k\)が超幾何反差を持つなら、
\(\mathit{k} = \mathit{a}\)から \(\mathit{k} = \mathit{b}\)までの
\(F_k\)の和を返します。
そうでなければ、 GosperSumは nongosper_summableを返します。
例:
(%i1) load ("zeilberger")$
(%i2) GosperSum ((-1)^k*k / (4*k^2 - 1), k, 1, n);
Dependent equations eliminated: (1)
3 n + 1
(n + -) (- 1)
2 1
(%o2) - ------------------ - -
2 4
2 (4 (n + 1) - 1)
(%i3) GosperSum (1 / (4*k^2 - 1), k, 1, n);
3
- n - -
2 1
(%o3) -------------- + -
2 2
4 (n + 1) - 1
(%i4) GosperSum (x^k, k, 1, n);
n + 1
x x
(%o4) ------ - -----
x - 1 x - 1
(%i5) GosperSum ((-1)^k*a! / (k!*(a - k)!), k, 1, n);
n + 1
a! (n + 1) (- 1) a!
(%o5) - ------------------------- - ----------
a (- n + a - 1)! (n + 1)! a (a - 1)!
(%i6) GosperSum (k*k!, k, 1, n); Dependent equations eliminated: (1) (%o6) (n + 1)! - 1
(%i7) GosperSum ((k + 1)*k! / (k + 1)!, k, 1, n);
(n + 1) (n + 2) (n + 1)!
(%o7) ------------------------ - 1
(n + 2)!
(%i8) GosperSum (1 / ((a - k)!*k!), k, 1, n); (%o8) NON_GOSPER_SUMMABLE
\(F_(n,k)\)に対して次数dの漸化式を見つけようとします。
アルゴリズムは解の列 \([s_1, s_2, ..., s_m]\)をもたらします。 解それぞれは形式
\([R(n, k), [a_0, a_1, ..., a_d]].\)
を持ちます。
もし漸化式を見つけられないなら、
parGosperは []を返します。
\(F_(n,k)\)の超幾何不定総和を計算しようとします。
Zeilbergerは最初に Gosperを呼び出し、
もしそれが解を見つけるのに失敗したら、
次数 1, 2, 3, ..., から MAX_ORDまでを使って
parGosperを呼び出します。
もしZeilbergerが
MAX_ORDに達する前に
停止して、解を返します。
アルゴリズムは解の列 \([s_1, s_2, ..., s_m]\)をもたらします。 解それぞれは形式
\([R(n,k), [a_0, a_1, ..., a_d]].\)
を持ちます。
もし解を見つけられなかったら、
Zeilbergerは []を返します。
Zeilbergerは
Gosper_in_Zeilbergerが trueの時だけ
Gosperを呼び出します。
デフォルト値: 5
MAX_ORDは
Zeilbergerが試みる漸化式の最大次数です。
デフォルト値: false
simplified_outputが trueの時、
zeilbergerパッケージの関数は
解の更なる整理を試みます。
デフォルト値: linsolve
linear_solverは
Zeilbergerのアルゴリズムで方程式系を解くのに使うソルバを指定します。
デフォルト値: true
warningsが trueの時、
zeilbergerパッケージの関数は
実行中に警告メッッセージを印字します。
デフォルト値: true
Gosper_in_Zeilbergerが trueの時、
Zeilberger関数は
parGosperをコールする前に
Gosperをコールします。
そうでないなら、 Zeilbergerはすぐに parGosperに向かいます。
デフォルト値: true
trivial_solutionsが trueの時、
Zeilbergerは
零に等しい証を持つ解か、
すべての係数が零に等しい解
を返します。