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lmの行列を対角に持つ平方行列を構成します。 lmは行列かスカラーのリストです。
例:
(%i1) load("diag")$
(%i2) a1:matrix([1,2,3],[0,4,5],[0,0,6])$
(%i3) a2:matrix([1,1],[1,0])$
(%i4) diag([a1,x,a2]);
[ 1 2 3 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 4 5 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 6 0 0 0 ]
(%o4) [ ]
[ 0 0 0 x 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 1 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 0 ]
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
固有値lambdaを持つ次数nのJordan細胞を返します。
例:
(%i1) load("diag")$
(%i2) JF(2,5);
[ 2 1 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 2 1 0 0 ]
[ ]
(%o2) [ 0 0 2 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 2 1 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 2 ]
(%i3) JF(3,2);
[ 3 1 ]
(%o3) [ ]
[ 0 3 ]
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
行列matのJordan形を返しますが、それはMaximaリストでコード化されます。
対応する行列を得るには、
jordanの出力を引数として使って関数dispJordanをコールしてください。
例:
(%i1) load("diag")$
(%i3) a:matrix([2,0,0,0,0,0,0,0],
[1,2,0,0,0,0,0,0],
[-4,1,2,0,0,0,0,0],
[2,0,0,2,0,0,0,0],
[-7,2,0,0,2,0,0,0],
[9,0,-2,0,1,2,0,0],
[-34,7,1,-2,-1,1,2,0],
[145,-17,-16,3,9,-2,0,3])$
(%i34) jordan(a);
(%o4) [[2, 3, 3, 1], [3, 1]]
(%i5) dispJordan(%);
[ 2 1 0 0 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 2 1 0 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 2 0 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 2 1 0 0 0 ]
(%o5) [ ]
[ 0 0 0 0 2 1 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 0 2 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 0 0 2 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 0 0 0 3 ]
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
dispJordanとminimalPolyも参照してください。
関数jordanによって与えられる出力である
Maximaリストlで与えられたコードに関連付けられた
Jordan行列を返します。
例:
(%i1) load("diag")$
(%i2) b1:matrix([0,0,1,1,1],
[0,0,0,1,1],
[0,0,0,0,1],
[0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0])$
(%i3) jordan(b1);
(%o3) [[0, 3, 2]]
(%i4) dispJordan(%);
[ 0 1 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 1 0 0 ]
[ ]
(%o4) [ 0 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 0 ]
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
jordanとminimalPolyも参照してください。
関数jordanによって与えられる出力である
Maximaリストlで与えられたコードに関連付けられた
最小多項式を返します。
例:
(%i1) load("diag")$
(%i2) a:matrix([2,1,2,0],
[-2,2,1,2],
[-2,-1,-1,1],
[3,1,2,-1])$
(%i3) jordan(a);
(%o3) [[- 1, 1], [1, 3]]
(%i4) minimalPoly(%);
3
(%o4) (x - 1) (x + 1)
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
jordanとdispJordanも参照してください。
Returns the matrix
(M^^-1).A.M=J―
ただしJはAのJordan形とする―
のような
行列Mを返します。
Maximaリストlは
関数jordanが返すようなJordan形のコード化された形式です。
例:
(%i1) load("diag")$
(%i2) a:matrix([2,1,2,0],
[-2,2,1,2],
[-2,-1,-1,1],
[3,1,2,-1])$
(%i3) jordan(a);
(%o3) [[- 1, 1], [1, 3]]
(%i4) M: ModeMatrix(a,%);
[ 1 - 1 1 1 ]
[ ]
[ 1 ]
[ - - - 1 0 0 ]
[ 9 ]
[ ]
(%o4) [ 13 ]
[ - -- 1 - 1 0 ]
[ 9 ]
[ ]
[ 17 ]
[ -- - 1 1 1 ]
[ 9 ]
(%i5) is( (M^^-1).a.M = dispJordan(%o3) );
(%o5) true
dispJordan(%o3)は
行列aのJordan形であることに注意してください。
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
jordanとdispJordanも参照してください。
f(mat)を返します。
ここで、fは解析関数でmatは行列です。
この計算はCauchyの積分公式に基づきます。
積分公式は、
もしf(x)が解析的、かつ、
mat = diag([JF(m1,n1),...,JF(mk,nk)]),
なら、
f(mat) = ModeMatrix*diag([f(JF(m1,n1)), ..., f(JF(mk,nk))])
*ModeMatrix^^(-1)
をはっきり述べます。
この計算に関して約6か8の別の方法があることに注意してください。
いくつかの例が続きます。
例 1:
(%i1) load("diag")$
(%i2) b2:matrix([0,1,0], [0,0,1], [-1,-3,-3])$
(%i3) mat_function(exp,t*b2);
2 - t
t %e - t - t
(%o3) matrix([-------- + t %e + %e ,
2
- t - t - t
2 %e %e - t - t %e
t (- ----- - ----- + %e ) + t (2 %e - -----)
t 2 t
t
- t - t - t
- t - t %e 2 %e %e
+ 2 %e , t (%e - -----) + t (----- - -----)
t 2 t
2 - t - t - t
- t t %e 2 %e %e - t
+ %e ], [- --------, - t (- ----- - ----- + %e ),
2 t 2
t
- t - t 2 - t
2 %e %e t %e - t
- t (----- - -----)], [-------- - t %e ,
2 t 2
- t - t - t
2 %e %e - t - t %e
t (- ----- - ----- + %e ) - t (2 %e - -----),
t 2 t
t
- t - t - t
2 %e %e - t %e
t (----- - -----) - t (%e - -----)])
2 t t
(%i4) ratsimp(%);
[ 2 - t ]
[ (t + 2 t + 2) %e ]
[ -------------------- ]
[ 2 ]
[ ]
[ 2 - t ]
(%o4) Col 1 = [ t %e ]
[ - -------- ]
[ 2 ]
[ ]
[ 2 - t ]
[ (t - 2 t) %e ]
[ ---------------- ]
[ 2 ]
[ 2 - t ]
[ (t + t) %e ]
[ ]
Col 2 = [ 2 - t ]
[ - (t - t - 1) %e ]
[ ]
[ 2 - t ]
[ (t - 3 t) %e ]
[ 2 - t ]
[ t %e ]
[ -------- ]
[ 2 ]
[ ]
[ 2 - t ]
Col 3 = [ (t - 2 t) %e ]
[ - ---------------- ]
[ 2 ]
[ ]
[ 2 - t ]
[ (t - 4 t + 2) %e ]
[ -------------------- ]
[ 2 ]
例 2:
(%i5) b1:matrix([0,0,1,1,1],
[0,0,0,1,1],
[0,0,0,0,1],
[0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0])$
(%i6) mat_function(exp,t*b1);
[ 2 ]
[ t ]
[ 1 0 t t -- + t ]
[ 2 ]
[ ]
(%o6) [ 0 1 0 t t ]
[ ]
[ 0 0 1 0 t ]
[ ]
[ 0 0 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 ]
(%i7) minimalPoly(jordan(b1));
3
(%o7) x
(%i8) ident(5)+t*b1+1/2*(t^2)*b1^^2;
[ 2 ]
[ t ]
[ 1 0 t t -- + t ]
[ 2 ]
[ ]
(%o8) [ 0 1 0 t t ]
[ ]
[ 0 0 1 0 t ]
[ ]
[ 0 0 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 ]
(%i9) mat_function(exp,%i*t*b1);
[ 2 ]
[ t ]
[ 1 0 %i t %i t %i t - -- ]
[ 2 ]
[ ]
(%o9) [ 0 1 0 %i t %i t ]
[ ]
[ 0 0 1 0 %i t ]
[ ]
[ 0 0 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 ]
(%i10) mat_function(cos,t*b1)+%i*mat_function(sin,t*b1);
[ 2 ]
[ t ]
[ 1 0 %i t %i t %i t - -- ]
[ 2 ]
[ ]
(%o10) [ 0 1 0 %i t %i t ]
[ ]
[ 0 0 1 0 %i t ]
[ ]
[ 0 0 0 1 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 1 ]
例 3:
(%i11) a1:matrix([2,1,0,0,0,0],
[-1,4,0,0,0,0],
[-1,1,2,1,0,0],
[-1,1,-1,4,0,0],
[-1,1,-1,1,3,0],
[-1,1,-1,1,1,2])$
(%i12) fpow(x):=block([k],declare(k,integer),x^k)$
(%i13) mat_function(fpow,a1);
[ k k - 1 ] [ k - 1 ]
[ 3 - k 3 ] [ k 3 ]
[ ] [ ]
[ k - 1 ] [ k k - 1 ]
[ - k 3 ] [ 3 + k 3 ]
[ ] [ ]
[ k - 1 ] [ k - 1 ]
[ - k 3 ] [ k 3 ]
(%o13) Col 1 = [ ] Col 2 = [ ]
[ k - 1 ] [ k - 1 ]
[ - k 3 ] [ k 3 ]
[ ] [ ]
[ k - 1 ] [ k - 1 ]
[ - k 3 ] [ k 3 ]
[ ] [ ]
[ k - 1 ] [ k - 1 ]
[ - k 3 ] [ k 3 ]
[ 0 ] [ 0 ]
[ ] [ ]
[ 0 ] [ 0 ]
[ ] [ ]
[ k k - 1 ] [ k - 1 ]
[ 3 - k 3 ] [ k 3 ]
[ ] [ ]
Col 3 = [ k - 1 ] Col 4 = [ k k - 1 ]
[ - k 3 ] [ 3 + k 3 ]
[ ] [ ]
[ k - 1 ] [ k - 1 ]
[ - k 3 ] [ k 3 ]
[ ] [ ]
[ k - 1 ] [ k - 1 ]
[ - k 3 ] [ k 3 ]
[ 0 ]
[ ] [ 0 ]
[ 0 ] [ ]
[ ] [ 0 ]
[ 0 ] [ ]
[ ] [ 0 ]
Col 5 = [ 0 ] Col 6 = [ ]
[ ] [ 0 ]
[ k ] [ ]
[ 3 ] [ 0 ]
[ ] [ ]
[ k k ] [ k ]
[ 3 - 2 ] [ 2 ]
この関数を使うためには、最初にload("diag")を書いてください。
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