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symは、多項式の対称群を扱うパッケージです。
これは、 Annick Valibouze (https://web.archive.org/web/20061125035035/http://www-calfor.lip6.fr/~avb/) によって Macsyma-Symbolicsのために書かれました。 アルゴリズムは、以下の論文に記載されています:
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リストLで与えられた与えられた完全対称関数から 0からnまでの基本対称関数にパスすることを実装します。 もしリストLが n+1個より少ない要素を含むなら、 タイプh1, h2などの 形式的な値で完成されます。 もし リストLの最初の要素が存在するなら、 それはアルファベットのサイズを指定します。 そうでないなら、サイズはnに設定されます。
(%i1) comp2pui (3, [4, g]);
2 2
(%o1) [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g - 2 h2)]
基本対称関数から完全関数に行きます。
comp2eleやcomp2compに似ています。
基数を変える他の関数: comp2ele.
基本対称関数から完全関数に行きます。
comp2eleやcomp2puiに似ています。
基数を変える他の関数: comp2ele.
リストlvarに含まれる変数に関して、
リストeleで与えられた基本対称関数を使って、
対称多項式symを分解します。
もしeleの最初の要素が与えられたら、
アルファベットのサイズで、
そうでないなら、サイズは多項式symの次数です。
もし値がリストeleになければ、
タイプe1, e2などの形式的値が加えられます。
多項式symは３つの異なる形式で与えられます:
contracted (elemはその時、デフォルト値1であるべきです),
partitioned (elemは3であるべきです),または
extended(すなわち、多項式全体, かつ、elemは2であるべきです)。
関数puiは同じ方法で使われます。
サイズ3のアルファベットと値7を持つ最初の基本対称関数e1上で、 (ここで変数の２つにだけ依存する)短縮された形式がx^4-2*x*yである 3変数の対称多項式が以下のように基本対称関数で分解されます:
(%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
(%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3
+ (- 2 (49 - e2) - 2) e2
(%i2) ratsimp (%);
2
(%o2) 28 e3 + 2 e2 - 198 e2 + 2401
基数を変える他の関数: comp2ele.
リストLは Schur関数S_Lを表します: we have i_1 <= i_2 <= ... <= i_q成るL = [i_1, i_2, ..., i_q] を持ちます。 Schur関数S_[i_1, i_2, ..., i_q]は、 最初のq個の行と列1 + i_1, 2 + i_2, ..., q + i_q から成る無限行列h_[i-j], i <= 1, j <= 1 の小行列式です。
このSchur関数は
treinatとkostkaを使うことで
単項式の項で書かれることができます。
返される形式は、
変数
x_1,x_2,...
の短縮表現の対称多項式です。
(%i1) mon2schur ([1, 1, 1]); (%o1) x1 x2 x3
(%i2) mon2schur ([3]);
2 3
(%o2) x1 x2 x3 + x1 x2 + x1
(%i3) mon2schur ([1, 2]);
2
(%o3) 2 x1 x2 x3 + x1 x2
以上は、3つの変数に関してこれが与えることを意味します:
2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
+ x2^2 x3 + x3^2 x2
基数を変えるための他の関数: comp2ele.
l_elemに含まれる基本対称関数を使って、リストl_varのリストに含まれる 変数のグループに関して、 多重対称多項式を 多重短縮形multi_pcに分解します。
(%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3,
[[x, y], [a, b]]);
3
(%o1) - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
(%i2) ratsimp (%);
2 3
(%o2) - 2 f2 + f1 + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1
基数を変えるための他の関数: comp2ele.
関数multi_elemが関数elemに対するものであるように、
関数puiに対するものです。
(%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3,
[[x, y], [a, b]]);
3
3 p1 p2 p1
(%o1) t2 + p1 t1 + ------- - ---
2 2
リストLの中のべき関数を使って、
リストlvarの中の変数に関して、
対称多項式symを分解します。
もしLの最初の要素が与えられるなら、
アルファベットのサイズです。
そうでないなら、サイズは多項式symの次数になります。
もしリストLの中に値がないなら、
タイプp1, p2 , などの形式的な値が加えられます。
多項式symは、
３つの異なる形式で与えられることができます:
contracted (elemは1でなければならず、デフォルト値です),
partitioned (elemは3でなければいけません),
extended (すなわち、多項式全体、そしてelemは2でなければいけません)。
関数puiは同じ方法で使われます。
(%i1) pui; (%o1) 1
(%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
2
a (a - b) u (a b - p3) u
(%o2) ------------ - ------------
6 3
(%i3) ratsimp (%);
3
(2 p3 - 3 a b + a ) u
(%o3) ---------------------
6
Other functions for changing bases: comp2ele.
リストlpuiで与えられたべき関数を使って、
(最初に長さを持ち)最初のn個の完全関数のリストを返します。
もしリストlpuiが空なら、
基数はnで、
そうでないなら、基数は(comp2eleやcomp2pui同様)
最初の要素です。
(%i1) pui2comp (2, []);
2
p2 + p1
(%o1) [2, p1, --------]
2
(%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
2
a1 (p2 + a1 )
2 p3 + ------------- + a1 p2
p2 + a1 2
(%o2) [2, a1, --------, --------------------------]
2 3
(%i3) ratsimp (%);
2 3
p2 + a1 2 p3 + 3 a1 p2 + a1
(%o3) [2, a1, --------, --------------------]
2 6
基数を変えるための他の関数: comp2ele.
べき関数から基本対称関数への変転に影響します。
もしフラグpui2eleがgirardなら、
1からnまでの基本対称関数のリストを返し、
もしフラグがcloseなら、
n番目の基本対称関数を返します。
基数を変えるための他の関数: comp2ele.
lpuiは
最初の要素が整数mのリストです。
puireducは
最初のm個を使って最初のn個のべき関数を与えます。
(%i1) puireduc (3, [2]);
2
p1 (p1 - p2)
(%o1) [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
2
(%i2) ratsimp (%);
3
3 p1 p2 - p1
(%o2) [2, p1, p2, -------------]
2
Pはリストl_varの変数の多項式です。
これらの変数のそれぞれは完全対称関数を表します。
l_varの中で、
i番目の完全対称関数は
文字hと整数iの連結hiによって表されます。
この関数は
PをSchur関数を使って表現します。
(%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
(%o1) s
1, 2
(%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
(%o2) s a
3
変数がlvarの中に含まれている短縮形pcに 関連付けられた分割多項式を返します。
(%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
3 4 5
(%o1) 2 a b x y + x
(%i2) cont2part (pc, [x, y]);
3
(%o2) [[1, 5, 0], [2 a b, 4, 1]]
リストlvarに含まれる変数に関する
多項式psymの
短縮形(すなわち、対称群の作用の下での単項軌道)を返します。
関数exploseは逆演算を実行します。
関数tcontractは多項式の対称性をテストします。
(%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
3 4 3 4 3 4 3 4
(%o1) 2 a b y z + 2 a b x z + 2 a b y z + 2 a b x z
3 4 3 4
+ 2 a b x y + 2 a b x y
(%i2) contract (psym, [x, y, z]);
3 4
(%o2) 2 a b x y
短縮形pcに関連付けられた対称多項式を返します。 リストlvarは変数を含みます。
(%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]); (%o1) a z + a y + a x + 1
対称式を分割形から短縮形に変換します。 短縮形はlvarの中の変数で表されます。
(%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
3 4
(%o1) 2 a b x y
psymは リストlvarの変数に関する対称多項式です。 この関数は分割表現を返します。
(%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]); (%o1) [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]
多項式polが
リストlvarの変数に関して対称かテストします。
もしそうなら、関数contractのように短縮表現を返します。
多項式polが
リストlvarの中の変数に関して
対称かテストします。
もしそうなら
関数partpolのように
分割表現を返します。
変数lvar_1, ..., lvar_nのリストと 変数yについての多項式p_1, ..., p_nに関して、 関数fに関連付けられた順像 (M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze, ISSAC 1988, Romeを参照してください) を計算します。 関数fのアリティが計算にとって重要です。 例えば、 fについての式がある変数に依存しないなら、 この変数を含むことは役に立たず、含めなければ、 計算量を相当に減らすことにもなるでしょう。
(%i1) direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
2
(%o1) y - e1 f1 y
2 2 2 2
- 4 e2 f2 - (e1 - 2 e2) (f1 - 2 f2) + e1 f1
+ -----------------------------------------------
2
(%i2) ratsimp (%);
2 2 2
(%o2) y - e1 f1 y + (e1 - 4 e2) f2 + e2 f1
(%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2 - f1* z + f2],
z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
6 5 2 2 2 4
(%o3) y - 2 e1 f1 y + ((2 e1 - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y
3 3 3
+ ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y
2 2 4 2
+ ((9 e2 - 6 e1 e2 + e1 ) f2
2 2 2 2 4
+ (- 9 e1 e3 - 6 e2 + 3 e1 e2) f1 f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )
2 2 2 3 2
y + (((9 e1 - 27 e2) e3 + 3 e1 e2 - e1 e2) f1 f2
2 2 3 5
+ ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1 f2 - 2 e2 e3 f1 ) y
2 3 3 2 2 3
+ (- 27 e3 + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2 + e1 e2 ) f2
2 3 3 2 2
+ (27 e3 + (e1 - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1 f2
2 4 2 6
+ (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1 f2 + e3 f1
根が和a+uである多項式を見つけること。 ただし、aはz^2 - e_1 z + e_2の根で、 uはz^2 - f_1 z + f_2の根です。
(%i1) ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
z, a + u, [[u], [a]]));
4 3 2
(%o1) y + (- 2 f1 - 2 e1) y + (2 f2 + f1 + 3 e1 f1 + 2 e2
2 2 2 2
+ e1 ) y + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1 + (- 2 e2 - e1 ) f1
2 2 2
- 2 e1 e2) y + f2 + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1 + e1 e2 f1
2
+ e2
directは２つのフラグを受け付けます:
elementairesとpuissances (デフォルト)
これらは、計算の中に現れる対称多項式を
それぞれ基本対称関数またはべき関数に分解することを許します。
この関数で使われるsymの関数は以下の通りです:
multi_orbit (だからorbit), pui_direct, multi_elem
(だからelem), multi_pui (だからpui), pui2ele, ele2pui
(もしフラグdirectがpuissancesの中にあれば)。
Pは リストlvar_1, lvar_2, ..., lvar_pに含まれる 変数の集合に関する 多項式です。 この関数は これらpリストで表された変数の集合の対称群の積の作用の下で 多項式Pの 軌道を返します。
(%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]); (%o1) [b y + a x, a y + b x]
(%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]); (%o2) [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]
以下も参照してください: 単対称群の作用に関するorbit。
次数nの対称群の作用を法としてのみ働くことで、 n個の変数に関する２つの対称多項式の積を返します。 多項式は分割形式です。
x, yに関する鵜２つの対称多項式:
分割形式が[[3, 1], [2, 1, 1]]と[[5, 2]]である
3*(x + y) + 2*x*yと5*(x^2 + y^2)
が与えられたとして、それらの積は、
(%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2); (%o1) [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]
、すなわち、10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)です。
対称多項式の表現を変える関数は以下の通りです:
contract, cont2part, explose, part2cont,
partpol, tcontract, tpartpol。
リストlvarの変数の集合の対称群の作用の下で リストlvarの変数に関する多項式Pの軌道を計算します。
(%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]); (%o1) [a y + b x, b y + a x]
(%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
2 2
(%o2) [y + 2 y, x + 2 x]
多項式に関する対称群の積の作用に関してはmulti_orbitも参照してください。
fを
変数のn個のブロックlvar_1, ..., lvar_nに関する多項式とします。
c_iを
lvar_iの中の変数の数とし、
SCを
次数c_1, ..., c_nの
n個の対称群の積とします。
この群は自然にfに作用します。
リストorbiteは
SCの作用の下での関数fの軌道で、SC(f)を意味します。
(このリストは
関数multi_orbitによって得られます。)
diは
c_1 <= d_1, c_2 <= d_2, ..., c_n <= d_n.
を満たすような整数です。
SDを
対称群
S_[d_1] x S_[d_2] x ... x S_[d_n]
の積とします。
関数pui_directは
SC(f)のべき関数から演繹された
SD(f)の
最初のn個のべき関数を返します。
ここで、nはSD(f)のサイズです。
結果はSDに関する多重短縮された形式です。 すなわち、SDの作用の下で、軌道毎にただ１つの要素が保持されます。
(%i1) l: [[x, y], [a, b]]; (%o1) [[x, y], [a, b]]
(%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
2 2
(%o2) [a x, 4 a b x y + a x ]
(%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
2 2 2 2 3 3
(%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a x , 3 a b x y + 2 a x ,
2 2 2 2 3 3 4 4
12 a b x y + 4 a b x y + 2 a x ,
3 2 3 2 4 4 5 5
10 a b x y + 5 a b x y + 2 a x ,
3 3 3 3 4 2 4 2 5 5 6 6
40 a b x y + 15 a b x y + 6 a b x y + 2 a x ]
(%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a],
[[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
2 2
(%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x + 4 a x + 4 a ,
2 3 2 2 3
9 x y + 12 a x y + 3 x + 6 a x + 12 a x + 8 a ]
P. Esperetによって書かれ、 分割part_1とpart_2のKostka数を計算します。
(%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]); (%o1) 6
重みnと長さmの分割のリストを返します。
(%i1) lgtreillis (4, 2); (%o1) [[3, 1], [2, 2]]
以下も参照してください: ltreillis, treillis, treinat。
重みnとm以下の長さの分割のリストを返します。
(%i1) ltreillis (4, 2); (%o1) [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]
以下も参照してください: lgtreillis, treillis, treinat。
重みnの分割すべてを返します。
(%i1) treillis (4); (%o1) [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
以下も参照してください: lgtreillis, ltreillis, treinat。
自然な順序に関する分割partより低い分割のリストを返します。
(%i1) treinat ([5]); (%o1) [[5]]
(%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
(%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1],
[1, 1, 1, 1, 1]]
(%i3) treinat ([3, 2]); (%o3) [[5], [4, 1], [3, 2]]
以下も参照してください: lgtreillis, ltreillis, treillis。
根の基本対称関数が
リストL = [n, e_1, ..., e_n]の中にあるような
zに関する多項式を返します。
ここでnは多項式の次数であり、
e_iはi番目の基本対称関数です。
(%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
2
(%o1) z - e1 z + e2
(%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x); (%o2) [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
(%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
7 5 3
(%o3) x - 14 x + 56 x - 56 x + 22
The inverse: polynome2ele (P, z).
Also see:
polynome2ele, pui2polynome.
リストl = [n, e_1, ..., e_n]を与えます。
ここでnは
変数xに関する多項式Pの次数であり、
e_iは
Pの根のi番目の基本対称関数です。
(%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x); (%o1) [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
(%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
7 5 3
(%o2) x - 14 x + 56 x - 56 x + 22
逆: ele2polynome (l, x)
Lは
集合A上の基本対称関数を含む
リストです。
prodracは、
根が
Aの要素の
k掛けるkの積の
多項式を返します。
somracも参照してください。
根のべき関数がリストlpuiで与えられる xに関する多項式を計算します。
(%i1) pui; (%o1) 1
(%i2) kill(labels); (%o0) done
(%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x); (%o1) [3, 4, 5, 1]
(%i2) ele2pui (3, %); (%o2) [3, 4, 6, 7]
(%i3) pui2polynome (x, %);
3 2
(%o3) x - 4 x + 5 x - 1
以下も参照してください:
polynome2ele, ele2polynome。
リストLは 多項式Pの基本対称関数を含みます。 関数は 根がPの根のk掛けるkの別個の和である 多項式を計算します。
prodracも参照してください。
変数x_1, ..., x_dで表現された関数fによって
次数n >= dの
xに関する多項式P
の解核を計算します。
計算の効率のため、
変換関数fに現れない変数の
リスト[x_1, ..., x_d]に含まれないことが重要です。
計算の効率を増すためには、
適切なアルゴリズムを使うように
resolvanteに関するフラグを設定することができます:
もし関数fがユニタリなら:
(x1*x2 + x2*x3 + x3*x4 + x4*x5 + x5*x1 -
(x1*x3 + x3*x5 + x5*x2 + x2*x4 + x4*x1))^2
一般的,
resolvanteのフラグはそれぞれ:
(%i1) resolvante: unitaire$
(%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1,
[x]);
" resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840,
- 2772, 56448, - 33880,
413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464,
175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760]
3 6 3 9 6 3
[x - 1, x - 2 x + 1, x - 3 x + 3 x - 1,
12 9 6 3 15 12 9 6 3
x - 4 x + 6 x - 4 x + 1, x - 5 x + 10 x - 10 x + 5 x
18 15 12 9 6 3
- 1, x - 6 x + 15 x - 20 x + 15 x - 6 x + 1,
21 18 15 12 9 6 3
x - 7 x + 21 x - 35 x + 35 x - 21 x + 7 x - 1]
[- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011]
7 6 5 4 3 2
(%o2) y + 7 y - 539 y - 1841 y + 51443 y + 315133 y
+ 376999 y + 125253
(%i3) resolvante: lineaire$
(%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
" resolvante lineaire "
24 20 16 12 8
(%o4) y + 80 y + 7520 y + 1107200 y + 49475840 y
4
+ 344489984 y + 655360000
(%i5) resolvante: general$
(%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);
" resolvante generale "
24 20 16 12 8
(%o6) y + 80 y + 7520 y + 1107200 y + 49475840 y
4
+ 344489984 y + 655360000
(%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);
" resolvante generale "
24 20 16 12 8
(%o7) y + 80 y + 7520 y + 1107200 y + 49475840 y
4
+ 344489984 y + 655360000
(%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
24 20 16 12 8
(%o8) y + 80 y + 7520 y + 1107200 y + 49475840 y
4
+ 344489984 y + 655360000
(%i9) resolvante :lineaire$
(%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
" resolvante lineaire "
4
(%o10) y - 1
(%i11) resolvante: symetrique$
(%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);
" resolvante symetrique "
4
(%o12) y - 1
(%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
" resolvante symetrique "
6 2
(%o13) y - 4 y - 1
(%i14) resolvante: alternee$
(%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);
" resolvante alternee "
12 8 6 4 2
(%o15) y + 8 y + 26 y - 112 y + 216 y + 229
(%i16) resolvante: produit$
(%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
" resolvante produit "
35 33 29 28 27 26
(%o17) y - 7 y - 1029 y + 135 y + 7203 y - 756 y
24 23 22 21 20
+ 1323 y + 352947 y - 46305 y - 2463339 y + 324135 y
19 18 17 15
- 30618 y - 453789 y - 40246444 y + 282225202 y
14 12 11 10
- 44274492 y + 155098503 y + 12252303 y + 2893401 y
9 8 7 6
- 171532242 y + 6751269 y + 2657205 y - 94517766 y
5 3
- 3720087 y + 26040609 y + 14348907
(%i18) resolvante: symetrique$
(%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);
" resolvante symetrique "
35 33 29 28 27 26
(%o19) y - 7 y - 1029 y + 135 y + 7203 y - 756 y
24 23 22 21 20
+ 1323 y + 352947 y - 46305 y - 2463339 y + 324135 y
19 18 17 15
- 30618 y - 453789 y - 40246444 y + 282225202 y
14 12 11 10
- 44274492 y + 155098503 y + 12252303 y + 2893401 y
9 8 7 6
- 171532242 y + 6751269 y + 2657205 y - 94517766 y
5 3
- 3720087 y + 26040609 y + 14348907
(%i20) resolvante: cayley$
(%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);
" resolvante de Cayley "
6 5 4 3 2
(%o21) x - 40 x + 4080 x - 92928 x + 3772160 x + 37880832 x
+ 93392896
Cayley解核に関して、最後の2つの引数は中立で、 入力多項式は必然的に次数5でなければいけません。
以下も参照してください:
resolvante_bipartite, resolvante_produit_sym,
resolvante_unitaire, resolvante_alternee1, resolvante_klein,
resolvante_klein3, resolvante_vierer, resolvante_diedrale。
関数
product(x_i - x_j, 1 <= i < j <= n - 1).
によって
次数nの
変換P(x)を計算します。
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire,
resolvante , resolvante_klein, resolvante_klein3,
resolvante_vierer, resolvante_diedrale, resolvante_bipartite。
関数
によって
偶次数nのP(x)の変換を計算します。
x_1 x_2 ... x_[n/2] + x_[n/2 + 1] ... x_n.
(%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
10 8 6 4
(%o1) y - 972 y + 314928 y - 34012224 y
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire,
resolvante, resolvante_klein, resolvante_klein3,
resolvante_vierer, resolvante_diedrale, resolvante_alternee1.
関数x_1 x_2 + x_3 x_4によって
P(x)の変換を計算します。
(%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
15 12 11 10 9 8 7
(%o1) x - 21 x - 81 x - 21 x + 207 x + 1134 x + 2331 x
6 5 4 3 2
- 945 x - 4970 x - 18333 x - 29079 x - 20745 x - 25326 x
- 697
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire,
resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3,
resolvante_vierer, resolvante。
関数x_1 x_2 x_4 + x_4によって
P(x)の変換を計算します。
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire,
resolvante_alternee1, resolvante, resolvante_klein3,
resolvante_vierer, resolvante_diedrale。
関数x_1 x_2 x_4 + x_4によって
P(x)の変換を計算します。
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire,
resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante,
resolvante_vierer, resolvante_diedrale。
多項式P(x)のすべての積解核のリストを計算します。
(%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
5 4 10 8 7 6 5
(%o1) [y + 3 y + 2 y - 1, y - 2 y - 21 y - 31 y - 14 y
4 3 2 10 8 7 6 5 4
- y + 14 y + 3 y + 1, y + 3 y + 14 y - y - 14 y - 31 y
3 2 5 4
- 21 y - 2 y + 1, y - 2 y - 3 y - 1, y - 1]
(%i2) resolvante: produit$
(%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);
" resolvante produit "
10 8 7 6 5 4 3 2
(%o3) y + 3 y + 14 y - y - 14 y - 31 y - 21 y - 2 y + 1
以下も参照してください:
resolvante, resolvante_unitaire,
resolvante_alternee1, resolvante_klein,
resolvante_klein3, resolvante_vierer,
resolvante_diedrale。
多項式Q(x)によって
多項式P(x)の解核を計算します。
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante,
resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3,
resolvante_vierer, resolvante_diedrale。
関数x_1 x_2 - x_3 x_4によって
P(x)の変換を計算します。
以下も参照してください:
resolvante_produit_sym, resolvante_unitaire,
resolvante_alternee1, resolvante_klein, resolvante_klein3,
resolvante, resolvante_diedrale。
ここでrは分割partの重みです。
この関数は、同類の多項係数を返します:
もしpartの部分が
i_1, i_2, ..., i_kなら、
結果は
r!/(i_1! i_2! ... i_k!)
です。
リストLの置換のリストを返します。
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