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Tras la evaluación de una expresión se procede a su simplificación. Las
funciones matemáticas que involucran cálculos simbólicos y las expresiones con
operadores aritméticos no son evaluadas, sino simplificadas, para lo cual Maxima
las representa internamente en forma nominal; de ahí que el
cálculo numérico de una suma o de una multiplicación no se considera una
evaluación, sino una simplificación. La evaluación de una expresión
puede inhibirse con el operador de comilla simple (') y su simplificación
se puede controlar con el valor asignado a la variable opcional simp.
En el siguiente ejemplo, se evita la simplificación con el operador de comilla
simple, siendo el resultado una expresión nominal. A continuación, se inhibe la
simplificación tras la evaluación de la derivada, dejando sin reducir el resultado
a 2*x.
(%i1) 'diff(x*x,x);
d 2
(%o1) -- (x )
dx
(%i2) simp:false;
(%o2) false
(%i3) diff(x*x,x);
(%o3) 1 x + 1 x
Para cada función u operador matemático dispone Maxima de una rutina interna que será utilizada para su simplificación siempre que se la encuentre en una expresión. Estas rutinas implementan propiedades simétricas, valores especiales de las funciones y otras propiedades y reglas. La gran cantidad de variables opcionales permiten mantener bajo control la simplificación de funciones y operadores.
Veamos un ejemplo. La simplificación de la función exponencial exp
se controla con las siguientes variables opcionales: %enumer, %emode,
%e_to_numlog, code, logsimp y demoivre.
En el primer caso la expresión con la función exponencial no se simplifica,
pero en el segundo se reduce a %i*%pi/2.
(%i1) exp(x+%i*%pi/2), %emode:false;
%i %pi
x + ------
2
(%o1) %e
(%i2) exp(x+%i*%pi/2), %emode:true;
x
(%o2) %i %e
Junto con la simplificación aislada de funciones y operadores que Maxima
realiza de forma automática, existen también funciones como expand
o radcan que realizan sobre las expresiones simplificaciones
especiales. Sigue un ejemplo:
(%i1) (log(x+x^2)-log(x))^a/log(1+x)^(a/2);
2 a
(log(x + x) - log(x))
(%o1) -----------------------
a/2
log(x + 1)
(%i2) radcan(%);
a/2
(%o2) log(x + 1)
A un operador o función se le pueden asignar propiedades tales como la
linealidad, la simetría u otras. Maxima tiene en cuenta
estas propiedades durante la simplificación. Por ejemplo, la instrucción
declare(f, oddfun) declara la función como impar, con lo que
Maxima sabrá que las formas f(-x) y -f(x) son equivalentes,
llevando a cabo la reducción oportuna.
Las siguientes propiedades están en la lista opproperties y controlan
la simplificación de funciones y operadores:
additive lassociative oddfun antisymmetric linear outative commutative multiplicative rassociative evenfun nary symmetric
Tanto las propiedades como los hechos (o hipótesis) establecidos por el usuario dentro de un contexto influyen sobre el proceso de simplificación. Para más detalles véase el capítulo sobre la base de datos de Maxima.
La función seno reduce los múltiplos enteros de %pi al valor cero.
En este ejemplo se muestra cómo al dotar al símbolo
n de la propiedad de ser entero, la función se simplifica de la forma
apropiada.
(%i1) sin(n*%pi); (%o1) sin(%pi n) (%i2) declare(n, integer); (%o2) done (%i3) sin(n*%pi); (%o3) 0
Si las técnicas anteriores no devuelven el resultado esperado por el usuario, éste puede extender a voluntad las reglas que pueda aplicar Maxima; para más información al respecto, véase el capítulo dedicado a las reglas y patrones.
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Si declare(f,additive) ha sido ejecutado, entonces:
(1) Si f es univariado, cada vez que el simplificador encuentre
f aplicada a una suma, f será distribuida bajo esta suma. Por ejemplo, f(x+y) se simplificará a f(x)+f(y).
(2) Si f es una función de 2 o más argumentos, aditivamente es definida como aditiva en el primer argumento de f, como en el caso de sum o integrate. Por ejemplo, f(h(x)+g(x),x) se simplificará a f(h(x),x)+f(g(x),x). Esta simplificación no ocurre cuando f se aplica a expresiones de la forma sum(x[i],i,lower-limit,upper-limit).
Ejemplo:
(%i1) F3 (a + b + c); (%o1) F3(c + b + a) (%i2) declare (F3, additive); (%o2) done (%i3) F3 (a + b + c); (%o3) F3(c) + F3(b) + F3(a)
Si declare(h,antisymmetric) es ejecutado, esto dice al
simplificador que h es antisimétrico. E.g. h(x,z,y) será
simplificado a -h(x,y,z). Que es, el producto de (-1)^n por el resultado
dado por symmetric o commutative, donde n es el número de intercambios
necesarios de dos argumentos para convertirle a esta forma.
Ejemplos:
(%i1) S (b, a); (%o1) S(b, a) (%i2) declare (S, symmetric); (%o2) done (%i3) S (b, a); (%o3) S(a, b) (%i4) S (a, c, e, d, b); (%o4) S(a, b, c, d, e) (%i5) T (b, a); (%o5) T(b, a) (%i6) declare (T, antisymmetric); (%o6) done (%i7) T (b, a); (%o7) - T(a, b) (%i8) T (a, c, e, d, b); (%o8) T(a, b, c, d, e)
Simplifica la suma expr combinando términos de con igual denominador reduciéndolos a un único término.
Si declare(h,commutative) es ejecutado, le dice al simplificador
que h es una función conmutaiva. Por ejemplo, h(x,z,y) se simplificará a h(x,y,z). Esto es lo mismo que symmetric.
La función demoivre (expr) convierte una expresión sin modificar la variable global demoivre.
Cuando demoivre vale true, los exponenciales complejos se convierten en expresiones equivalentes pero en términos de las funciones trigonométricas:
exp (a + b*%i) se reduce a %e^a * (cos(b) + %i*sin(b))
si b no contiene a %i. Las expresiones a y b no se expanden.
El valor por defecto de demoivre es false.
La función exponentialize convierte funciones trigonométricas e hiperbólicas a la forma exponencial, por lo que demoivre y exponentialize no pueden valer true al mismo tiempo.
Distribuye sumas sobre productos. Difiere de expand
en que trabaja sólo al nivel superior de una expresión, siendo más rápida que expand. Difiere de multthru en que expande todas las sumas del nivel superior.
Ejemplos:
(%i1) distrib ((a+b) * (c+d));
(%o1) b d + a d + b c + a c
(%i2) multthru ((a+b) * (c+d));
(%o2) (b + a) d + (b + a) c
(%i3) distrib (1/((a+b) * (c+d)));
1
(%o3) ---------------
(b + a) (d + c)
(%i4) expand (1/((a+b) * (c+d)), 1, 0);
1
(%o4) ---------------------
b d + a d + b c + a c
Valor por defecto: true
distribute_over controla la distribución de funciones sobre
estructuras como listas, matrices y ecuaciones. Actualmente, no todas
las funciones de Maxima tienen esta propiedad. Es posible consultar si
una función tiene esta propiedad con la instrucción properties.
La propiedad distributiva se desactiva asignándole a distribute_over
el valor false.
Ejemplos:
La función sin se distribuye sobre una lista:
(%i1) sin([x,1,1.0]); (%o1) [sin(x), sin(1), .8414709848078965]
mod es una función de dos argumentos que se distribuye sobre listas.
La distribución sobre listas anidadas también es posible.
(%i2) mod([x,11,2*a],10); (%o2) [mod(x, 10), 1, 2 mod(a, 5)] (%i3) mod([[x,y,z],11,2*a],10); (%o3) [[mod(x, 10), mod(y, 10), mod(z, 10)], 1, 2 mod(a, 5)]
Distribución de la función floor sobre una matriz y una
ecuación.
(%i4) floor(matrix([a,b],[c,d]));
[ floor(a) floor(b) ]
(%o4) [ ]
[ floor(c) floor(d) ]
(%i5) floor(a=b);
(%o5) floor(a) = floor(b)
Funciones con más de un argumento se distribuyen sobre cualquiera de sus argumentos, o sobre todos ellos.
(%i6) expintegral_e([1,2],[x,y]);
(%o6) [[expintegral_e(1, x), expintegral_e(1, y)],
[expintegral_e(2, x), expintegral_e(2, y)]]
Comprueba si una función tiene la propiedad distribute_over:
(%i7) properties(abs); (%o7) [integral, distributes over bags, noun, rule, gradef]
Valor por defecto: real
Si domain vale complex, sqrt (x^2) permanecerá como
sqrt (x^2) en lugar de devolver abs(x).
declare(f, evenfun o declare(f, oddfun) indican a Maxima que reconozca
la función f como par o impar, respectivamente.
Ejemplos:
(%i1) o (- x) + o (x); (%o1) o(x) + o(- x) (%i2) declare (o, oddfun); (%o2) done (%i3) o (- x) + o (x); (%o3) 0 (%i4) e (- x) - e (x); (%o4) e(- x) - e(x) (%i5) declare (e, evenfun); (%o5) done (%i6) e (- x) - e (x); (%o6) 0
Expande la expresión expr. Los productos de sumas y de sumas con exponentes se multiplican, los numeradores de las expresiones racionales que son sumas se separan en sus respectivos términos, y las multiplicaciones (tanto las que son conmutativas como las que no) se distribuyen sobre las sumas en todos los niveles de expr.
En el caso de los polinomios es más aconsejable utilizar ratexpand, que utiliza un algoritmo más eficiente.
Las variables maxnegex y maxposex controlan los máximos exponentes negativos y positivos que se van a expandir.
La llamada expand (expr, p, n) expande expr asignando a maxposex el valor p y a maxnegex el n. Esto es útil para expandir sólo parte de la expresión.
La variable expon guarda el mayor exponente negativo que será expandido automáticamente, independientemente de expand. Por ejemplo, si expon vale 4 entonces (x+1)^(-5) no se expandirá automáticamente.
La variable expop guarda el mayor exponente positivo que será expandido automáticamente. Así, (x+1)^3 se expandirá automáticamente sólo si expop es mayor o igual que 3. Si se quiere expandir (x+1)^n, siendo n mayor que expop, entonces expand ((x+1)^n) se desarrollará sólo si maxposex no es menor que n.
expand(expr, 0, 0) provoca que se vuelva a simplificar expr.
expr no se vuelve a evaluar. A diferencia de ev(expr, noeval),
se elimina la representación canónica de la expresión.
Véase también ev.
La variable expand utilizada con ev provocará una expansión.
El fichero share/simplification/facexp.mac
contiene algunas funciones relacionadas con expand (en concreto, facsum, factorfacsum
y collectterms, que se cargan automáticamente) y variables (nextlayerfactor
y facsum_combine) que permiten al usuario estructurar las expresiones controlando la expansión.
En simplification/facexp.usg se pueden encontrar breves descripciones de estas funciones.
Se accederá a una demostración con la instrucción demo("facexp").
Ejemplo:
(%i1) expr:(x+1)^2*(y+1)^3;
2 3
(%o1) (x + 1) (y + 1)
(%i2) expand(expr);
2 3 3 3 2 2 2 2 2
(%o2) x y + 2 x y + y + 3 x y + 6 x y + 3 y + 3 x y
2
+ 6 x y + 3 y + x + 2 x + 1
(%i3) expand(expr,2);
2 3 3 3
(%o3) x (y + 1) + 2 x (y + 1) + (y + 1)
(%i4) expr:(x+1)^-2*(y+1)^3;
3
(y + 1)
(%o4) --------
2
(x + 1)
(%i5) expand(expr);
3 2
y 3 y 3 y 1
(%o5) ------------ + ------------ + ------------ + ------------
2 2 2 2
x + 2 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2 x + 1
(%i6) expand(expr,2,2);
3
(y + 1)
(%o6) ------------
2
x + 2 x + 1
Vuelve a simplificar una expresión pero sin expansión:
(%i7) expr:(1+x)^2*sin(x);
2
(%o7) (x + 1) sin(x)
(%i8) exponentialize:true;
(%o8) true
(%i9) expand(expr,0,0);
2 %i x - %i x
%i (x + 1) (%e - %e )
(%o9) - -------------------------------
2
Expande la expresión expr con respecto a las variables x_1, ..., x_n.
Todos los productos que contengan a las variables aparecen explícitamente. El resultado que se obtenga no tendr’a productos de sumas de expresiones que contengan a las variables. Los argumentos x_1, ..., x_n
pueden ser variables, operadores o expresiones.
Por defecto, no se expanden los denominadores, pero esto puede cambiarse mediante el uso de la variable expandwrt_denom.
Esta función se carga automáticamente de simplification/stopex.mac.
Valor por defecto: false
La variable expandwrt_denom controla el tratamiento de las expresiones racinales por parte de expandwrt. Si vale true, se expandirán tanto el numerador como el denominador de la expresión respecto de los argumentos de expandwrt, pero si expandwrt_denom vale false, sólo se expandirá el numerador.
Es similar a expandwrt, pero trata a las expresiones que son productos de una forma algo diferente. La función
expandwrt_factored expande sólo aquellos factores de expr que contienen a las variables x_1, ..., x_n.
Esta función se carga automáticamente de simplification/stopex.mac.
Valor por defecto: 0
La variable expon guarda el mayor exponente negativo que será expandido automáticamente, independientemente de expand. Por ejemplo, si expon vale 4 entonces (x+1)^(-5) no se expandirá automáticamente.
La función exponentialize (expr) convierte las funciones trigonométricas e hiperbólicas de expr a exponenciales, sin alterar la variable global exponentialize.
Cuando la variable exponentialize vale true, todas las funciones trigonométricas e hiperbólicas se convierten a forma exponencial. El valor por defecto es false.
La función demoivre convierte funciones trigonométricas e hiperbólicas a la forma exponencial, por lo que demoivre y exponentialize no pueden valer true al mismo tiempo.
Valor por defecto: 0
La variable expop guarda el mayor exponente positivo que será expandido automáticamente. Así, (x+1)^3 se expandirá automáticamente sólo si expop es mayor o igual que 3. Si se quiere expandir (x+1)^n, siendo n mayor que expop, entonces expand ((x+1)^n) se desarrollará sólo si maxposex no es menor que n.
La instrucción declare (g, lassociative) le indica al simplificador de Maxima que g es asociativo por la izquierda. Por ejemplo, g (g (a, b), g (c, d))se reduce a g (g (g (a, b), c), d).
Es una de las propiedades de operadores de Maxima. Si la función
univariante f se declara lineal, la expansión de f(x + y)
produce f(x) + f(y), f(a*x) produce a*f(x) si a
es una constante. Si la función tiene dos o más argumentos, la linealidad
se interpreta como la de sum o integrate, esto es,
f (a*x + b, x) produce a*f(x,x) + b*f(1,x) si a y b
no contienen a x.
linear equivale a additive y outative.
Véase también opproperties.
Ejemplo:
(%i1) 'sum (F(k) + G(k), k, 1, inf);
inf
====
\
(%o1) > (G(k) + F(k))
/
====
k = 1
(%i2) declare (nounify (sum), linear);
(%o2) done
(%i3) 'sum (F(k) + G(k), k, 1, inf);
inf inf
==== ====
\ \
(%o3) > G(k) + > F(k)
/ /
==== ====
k = 1 k = 1
Valor por defecto: 1000
La variable maxnegex es el mayor exponente negativo que expandirá la función expand. Véase también maxposex.
Valor por defecto: 1000
La variable maxposex es el mayor exponenteque expandirá la función expand. Véase también maxnegex.
La instrucción declare (f, multiplicative) indica al simplificador de Maxima que f is multiplicativa.
f es univariante, cada vez que el simplificador encuentre a f aplicad a un producto, f se distribuirá sobre ese producto. Por ejemplo, f(x*y) se reduciría a f(x)*f(y).
f es una función de 2 o más argumentos, la multiplicabilidad se define como multiplicabilidad para el primer argumento de f, de modo que f (g(x) * h(x), x) se reduciría a f (g(x) ,x) * f (h(x), x).
Esta transformación no se realiza cuando f se aplica a expresiones de la forma product (x[i], i, m, n).
Ejemplo:
(%i1) F2 (a * b * c); (%o1) F2(a b c) (%i2) declare (F2, multiplicative); (%o2) done (%i3) F2 (a * b * c); (%o3) F2(a) F2(b) F2(c)
Multiplica un factor (que debería ser una suma) de expr por los otros factores de expr. Esto es, expr es f_1 f_2 ... f_n, donde al menos un factor, por ejemplo f_i, es una suma de términos. Cada término en esta suma se multiplica por los otros factores del producto, excepto el propio f_i. La función multthru no expande sumas elevadas a exponentes, siendo el método más rápido para distribuir productos (sean o no conmutativos) sobre sumas. Puesto que los cocientes se representan como productos, puede utilizarsemultthru para dividir sumas entre productos.
La llamada multthru (expr_1, expr_2) multiplica cada término de expr_2 (que debería ser una suma o una ecuación) por expr_1. Si expr_1 no es ella misma una suma, entonces la llamada es equivalente a multthru (expr_1*expr_2).
(%i1) x/(x-y)^2 - 1/(x-y) - f(x)/(x-y)^3;
1 x f(x)
(%o1) - ----- + -------- - --------
x - y 2 3
(x - y) (x - y)
(%i2) multthru ((x-y)^3, %);
2
(%o2) - (x - y) + x (x - y) - f(x)
(%i3) ratexpand (%);
2
(%o3) - y + x y - f(x)
(%i4) ((a+b)^10*s^2 + 2*a*b*s + (a*b)^2)/(a*b*s^2);
10 2 2 2
(b + a) s + 2 a b s + a b
(%o4) ------------------------------
2
a b s
(%i5) multthru (%); /* note that this does not expand (b+a)^10 */
10
2 a b (b + a)
(%o5) - + --- + ---------
s 2 a b
s
(%i6) multthru (a.(b+c.(d+e)+f));
(%o6) a . f + a . c . (e + d) + a . b
(%i7) expand (a.(b+c.(d+e)+f));
(%o7) a . f + a . c . e + a . c . d + a . b
declare(f, nary) le indica a Maxima que reconozca la función f
como n-aria.
La declaración nary no equivale a invocar la función
function_nary, nary. El único efecto de declare(f, nary)
es indicar al simplificador de Maxima que aplane expresiones anidadas,
como simplificar foo(x, foo(y, z)) a foo(x, y, z).
Véase también declare.
Ejemplo:
(%i1) H (H (a, b), H (c, H (d, e))); (%o1) H(H(a, b), H(c, H(d, e))) (%i2) declare (H, nary); (%o2) done (%i3) H (H (a, b), H (c, H (d, e))); (%o3) H(a, b, c, d, e)
Valor por defecto: true
Si negdistrib vale true, -1 se distribuye sobre una expresión. Por ejemplo, -(x + y) se transforma en - y - x. Dándole el valor false se mostrará - (x + y) tal cual. Esto puede ser útil, pero también peligroso; al igual que el indicador simp, no conviene asignarle el valor false.
La variable opproperties es la lista con las propiedades especiales de los operadores reconocidas por el simplificador de Maxima:
linear, additive, multiplicative, outative, evenfun,
oddfun, commutative, symmetric, antisymmetric, nary,
lassociative, rassociative.
La instrucción declare (f, outative) le indica al simplificador de Maxima
que los factores constantes del argumento de la función f pueden ser
extraídos.
f es univariante, cada vez que el simplificador se encuentra con f
aplicada a un producto, éste será particionado en factores que son constantes y
factores que no lo son, siendo entonces los constantes extraídos de la
función. Por ejemplo, f(a*x) se reducirá a a*f(x) siendo a
una constante. Las constantes no atómicas no serán extraídas.
f es una función de 2 o más argumentos, esta propiedad se define como
en sum o integrate, esto es, f (a*g(x), x) se reducirá a
a * f(g(x), x) si a no contiene a x.
Las funciones sum, integrate y limit han sido todas declaradas
con la propiedad outative.
Ejemplo:
(%i1) F1 (100 * x); (%o1) F1(100 x) (%i2) declare (F1, outative); (%o2) done (%i3) F1 (100 * x); (%o3) 100 F1(x) (%i4) declare (zz, constant); (%o4) done (%i5) F1 (zz * y); (%o5) zz F1(y)
Simplifica la expresión expr, que puede contener logaritmos, exponenciales y
radicales, convirtiéndola a una forma canónica, lo que significa que todas las expresiones funcionalmente equivalentes
se reducen a una forma única. Ciertas expresiones, sin embargo, son reducidas por radcan a una forma regular, lo que significa que dos expresiones equivalentes no tienen necesariamente el mismo aspecto, pero su diferencia puede ser reducida por radcan a cero.
Con algunas expresiones radcan puede consunir mucho tiempo. Este es el coste por explorar ciertas relaciones entre las componentes de la expresión para simplificaciones basadas en factorizaciones y expansiones parciales de fracciones de exponentes.
Ejemplos:
(%i1) radcan((log(x+x^2)-log(x))^a/log(1+x)^(a/2));
a/2
(%o1) log(x + 1)
(%i2) radcan((log(1+2*a^x+a^(2*x))/log(1+a^x)));
(%o2) 2
(%i3) radcan((%e^x-1)/(1+%e^(x/2)));
x/2
(%o3) %e - 1
Valor por defecto: true
La variable radexpand controla algunas simplificaciones de radicales.
Si radexpand vale all, las raíces n-ésimas de los factores de un producto que sean potencias de n se extraen del símbolo radical. Por ejemplo, si radexpand vale all, sqrt (16*x^2) se reduce a 4*x.
Más concretamente, considérese sqrt (x^2).
radexpand vale all o se ha ejecutado assume (x > 0),
sqrt(x^2) se reduce a x.
radexpand vale true y domain es real (su valor por defecto),
sqrt(x^2) se reduce a abs(x).
radexpand vale false o radexpand vale true y domain es complex,
sqrt(x^2) no se simplifica.
Nótese que domain sólo se tiene en cuenta si radexpand vale true.
La instrucción declare (g, rassociative) le indica al simplificador de Maxima que g es asociativa por la derecha. Por ejemplo, g(g(a, b), g(c, d)) se reduce a g(a, g(b, g(c, d))).
Es el "Sequential Comparative Simplification" (método debido a Stoute).
La función scsimp intenta simplificar expr de acuerdo con las reglas rule_1, ..., rule_n.
Si se obtiene una expresión más pequeña, el proceso se repite. En caso contrario, después de que se hayan intentado todas las simplificaciones, devuelve la respuesta original.
La instrucción example (scsimp) muestra algunos ejemplos.
Valor por defecto: true
La variable simp activa y desactiva la simplificación.
La simplificación está activada por defecto. La variable simp
también es reconocida por la función ev como variable de entorno.
Véase también ev.
Cuando simp se utiliza en un entorno ev con el valor false,
la simplificación se evita sólo durante la fase de evaluación de una
expresión. La variable no evita la simplificación que sigue a la fase de
evaluación.
Ejemplos:
La simplificación se suspende globalmente. La expresión sin(1.0)
no se simplifica a su valor numérico. La variable de entorno simp
conmuta el estado de la simplificación.
(%i1) simp:false; (%o1) false (%i2) sin(1.0); (%o2) sin(1.0) (%i3) sin(1.0),simp; (%o3) .8414709848078965
La simplificación se vuelve a activar. La variable de entorno simp
no puede suprimir totalmente la simplificación. El resultado muestra una
expresión simplificada, pero la variable x guarda como valor una
expresión sin simplificar, porque la asignación se realizó durante
la fase de evaluación de la expresión.
(%i4) simp:true; (%o4) true (%i5) x:sin(1.0),simp:false; (%o5) .8414709848078965 (%i6) :lisp $X ((%SIN) 1.0)
La instrucción declare (h, symmetric) le indica al simplificador de Maxima que h es una función simétrica. Por ejemplo, h (x, z, y) se reduce a h (x, y, z).
El nombre commutative es sinónimo de symmetric.
Combina todos los términos de expr (la cual debe ser una suma) sobre un común denominador sin expandir productos ni sumas elevadas a exponentes al modo que lo hace ratsimp. La función xthru cancela factores comunes en el numerador y denominador de expresiones racionales, pero sólo si los factores son explícitos.
En ocasiones puede ser útil el uso de xthru antes de la llamada a ratsimp a fin de cancelar factores explícitos del máximo común divisor del numerador y denominador y así simplificar la expresión a la que se va a aplicar ratsimp.
(%i1) ((x+2)^20 - 2*y)/(x+y)^20 + (x+y)^(-19) - x/(x+y)^20;
xthru (%);
20
1 (x + 2) - 2 y x
(%o1) --------- + --------------- - ---------
19 20 20
(y + x) (y + x) (y + x)
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