Maxima da soporte para las funciones elípticas jacobianas y para las integrales elípticas completas e incompletas. Esto incluye la manipulación simbólica de estas funciones y su evaluación numérica. Las definiciones de estas funciones y de muchas de sus propiedades se pueden encontrar en Abramowitz y Stegun, capítulos 16–17, que es la fuente principal utilizada para su programación en Maxima, aunque existen algunas diferencias.
En particular, todas las funciones e integrales elípticas utilizan el parámero \(m\) en lugar del módulo \(k\) o del ángulo \(alfa\). Esta es una de las diferencias con Abramowitz y Stegun, que utilizan el ángulo para las funciones elípticas. Las siguientes relaciones son válidas:
\(m = k^2\) y \(k = sin(alfa)\).
Las funciones e integrales elípticas en Maxima tienen como objetivo primordial dar soporte al cálculo simbólico, de ahí que también estén incluidas la mayoría de las derivadas e integrales asociadas a estas funciones. No obstante lo anterior, si los argumentos dados a las funciones son decimales en coma flotante, los resultados también serán decimales.
Sin embargo, la mayoría de las propiedades no realacionadas con las derivadas de las funciones e integrales elípticas todavía no han sido programadas en Maxima.
Algunos ejemplos de funciones elípticas:
(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1) jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2) tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3) sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
(u - ------------------------------------)/(2 m)
1 - m
2
jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
+ --------------------------------
2 (1 - m)
Algunos ejemplos de integrales elípticas:
(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1) elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2) phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
phi %pi
(%o3) log(tan(--- + ---))
2 4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4) sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5) phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
1
(%o6) elliptic_kc(-)
2
(%i7) makegamma (%);
2 1
gamma (-)
4
(%o7) -----------
4 sqrt(%pi)
(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
1
(%o8) ---------------------
2
sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
m
cos(phi) sin(phi)
- ---------------------)/(2 (1 - m))
2
sqrt(1 - m sin (phi))
El paquete para funciones e integrales elípticas fue programado por Raymond Toy. Se distribuye, igual que Maxima, bajo la General Public License (GPL).
Función elíptica jacobiana \(sn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(cn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(dn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(ns(u,m) = 1/sn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(nc(u,m) = 1/cn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(nc(u,m) = 1/cn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m)\).
Función elíptica jacobiana \(dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(sn(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(cn(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(dn(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(ns(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(sc(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(sd(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(nc(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(cs(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(cd(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(nc(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(ds(u,m)\).
Inversa de la función elíptica jacobiana \(dc(u,m)\).
Integral elíptica incompleta de primera especie, definida como
\(integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
Véanse también elliptic_e y elliptic_kc.
Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como
\(elliptic_e(phi, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
Véanse también elliptic_e y elliptic_ec.
Integral elíptica incompleta de segunda especie, definida como
\(integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)\)
donde \(tau = sn(u,m)\).
Esto se relaciona con elliptic_e mediante
\(elliptic_eu(u, m) = elliptic_e(asin(sn(u,m)),m)\)
Véase también elliptic_e.
Integral elíptica incompleta de tercera especie, definida como
\(integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)\)
Maxima sólo conoce la derivada respecto de \(phi\).
Integral elíptica completa de primera especie, definida como
\(integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)\)
Para algunos valores de \(m\), se conoce el valor de la integral en términos de la función \(Gamma\). Hágase uso de makegamma para realizar su cálculo.
Integral elíptica completa de segunda especie, definida como
\(integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)\)
Para algunos valores de \(m\), se conoce el valor de la integral en términos de la función \(Gamma\). Hágase uso de makegamma para realizar su cálculo.