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Las fases que se suceden desde que el usuario solicita un cálculo hasta que obtiene el resultado son: la propia solicitud del cálculo, la evaluación, la simplificación y la respuesta.
Toda expresión expr que se introduzca en Maxima será evaluada, de manera que los símbolos que no tengan asociado ningún valor y los números evalúan a sí mismos; en cambio, aquellos símbolos que tengan un valor asociado serán sustituídos por tales valores.
Dos ejemplos. En el primero, los símbolos y los números se evalúan
a sí mismos; en el segundo ejemplo, al asignarle a la variable a
el valor 2, allá donde se escriba a será sustituido por dicho valor.
(%i1) [a, b, 2, 1/2, 1.0];
1
(%o1) [a, b, 2, -, 1.0]
2
(%i2) a:2$
(%i3) [a, sin(a), a^2];
(%o3) [2, sin(2), 4]
Maxima distingue entre funciones en forma verbal y funciones en forma
nominal. Las funciones en forma verbal son evaluadas tomando en cuenta
los valores dados a sus argumentos; en cambio, las funciones nominales
no son evaluadas, aunque sus argumentos tengan valores asignados. Las
funciones son susceptibles de ser tratadas de ambos modos; ejemplos
típicos son la función de diferenciación diff
y la de integración integrate.
En el siguiente ejemplo se le asigna a la variable a cierto
valor, a continuación se invoca la función diff en su
forma verbal con sus argumentos tomando los valores a*x^2 y x.
Seguidamente se invoca a la misma función diff en su
forma nominal, lo cual se consigue mediante el operador de comilla simple (');
en este caso la función no es evaluada y devuelve una expresión simbólica
en la que los argumentos sí han sido evaluados, pues la variable
a es sustituida por el valor 1/2.
(%i1) a:1/2;
1
(%o1) -
2
(%i2) diff(a*x^2, x);
(%o2) x
(%i3) 'diff(a*x^2, x);
2
d x
(%o3) -- (--)
dx 2
Sin embargo, no todas las funciones de Maxima sustituyen sus argumentos por sus valores. La documentación para cada función informará si sus argumentos son evaluados o no.
Por ejemplo, la función properties no evalúa sus argumentos, lo cual
resulta práctico para el usuario, ya que en caso contrario debería
utilizar el operador de comilla simple ' a fin de poder mostrar las
propiedades del símbolo a. A continuación se muestra
como en el primer caso se devuelve una lista vacía, ya que no se
le ha encontrado ninguna propiedad al símbolo a; una vez
se le ha asignado el valor 2, la función properties nos dice
que la variable guarda un valor y esto es así porque no ha sustituido
el símbolo a por su valor 2. En consecuencia, la
función properties muestra las propiedades de 'a.
(%i1) properties(a); (%o1) [] (%i2) a:2$ (%i3) properties(a); (%o3) [value]
La evaluación de símbolos, funciones y expresiones se puede
controlar con los operadores de comilla simple (') y de doble comilla
simple (''). La evaluación se suprime con la comilla simple y se
fuerza con la doble comilla simple (que no comilla doble).
Con la función ev se evalúa una expresión dentro de un contexto
determinado controlado por el valor de ciertas variables evflag y
funciones de evaluación evfun.
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El operador comilla simple ' evita la evaluación.
Aplicado a un símbolo, la comilla simple evita la evaluación del símbolo.
Aplicado a la llamada de una función, la comilla simple evita la evaluación de la función llamada, aunque los argumentos de la función son evaluados (siempre y cuando la evaluación no se evite de otra manera). El resultado es una forma de nombre de la función llamada.
Aplicado a una expresión con paréntesis,
la comilla simple evita la evaluación de todos los símbolos y llamadas a funciones que hayan en la expresión.
E.g., '(f(x)) significa que no se evalua la expresión f(x).
'f(x) (con la comilla simple aplicada a f en cambio de a f(x))
significa el retorno de la forma de nombre de f aplicada a [x].
La comilla simple no evita la simplificación.
Cuando el interruptor global noundisp es true,
los nombres se muestran con una comilla simple.
Este interruptor siempre tiene como valor true cuando
se muestran definiciones de funciones.
Ver también los operadores comilla-comilla '' y nouns.
Ejemplos:
Aplicado a un símbolo, la comilla simple evita la evaluación del símbolo.
(%i1) aa: 1024;
(%o1) 1024
(%i2) aa^2;
(%o2) 1048576
(%i3) 'aa^2;
2
(%o3) aa
(%i4) ''%;
(%o4) 1048576
Aplicado a la llamada de una función, la comilla simple evita la evaluación de la función llamada, aunque los argumentos de la función son evaluados (siempre y cuando la evaluación no se evite de otra manera). El resultado es una forma de nombre de la función llamada.
(%i1) x0: 5;
(%o1) 5
(%i2) x1: 7;
(%o2) 7
(%i3) integrate (x^2, x, x0, x1);
218
(%o3) ---
3
(%i4) 'integrate (x^2, x, x0, x1);
7
/
[ 2
(%o4) I x dx
]
/
5
(%i5) %, nouns;
218
(%o5) ---
3
Aplicado a una expresión con paréntesis, la comilla simple evita la evaluación de todos los símbolos y llamadas a funciones que haya dentro en la expresión.
(%i1) aa: 1024; (%o1) 1024 (%i2) bb: 19; (%o2) 19 (%i3) sqrt(aa) + bb; (%o3) 51 (%i4) '(sqrt(aa) + bb); (%o4) bb + sqrt(aa) (%i5) ''%; (%o5) 51
La comilla simple no evita la simplificación.
(%i1) sin (17 * %pi) + cos (17 * %pi); (%o1) - 1 (%i2) '(sin (17 * %pi) + cos (17 * %pi)); (%o2) - 1
Internamente, Maxima considera que las operaciones con números decimales de coma flotante son simples simplificaciones.
(%i1) sin(1.0); (%o1) .8414709848078965 (%i2) '(sin(1.0)); (%o2) .8414709848078965
El operador comilla-comilla '' (dos comillas simples) modifica la evaluación
en las expresiones de entrada.
Aplicado a cualquier expresión general expr, las dos comillas simples hacen que el valor de expr sea sustituido por expr en la expresión de entrada.
Aplicado al operador de una expresión, el operador comilla-comilla hace que el operador pase de ser un nombre a ser un verbo, a menos que ya sea un verbo.
El operador comilla-comilla es aplicado por el analizador sintáctico de entrada;
no se almacena como una parte de la expresión de entrada analizada.
Este operador se aplica siempre tan pronto como es detectado y no puede ser comentado con
una comilla simple. De esta manera, el operador comilla-comilla provoca la evaluación de
una expresión cuando ésta no estaba previsto que fuese evaluada, como en la
definición de funciones, expresiones lambda y expresiones comentadas con una comilla simple
'.
El operador comilla-comilla es reconocido tanto por batch como por load.
Véanse también el operador comilla simple ' y nouns.
Ejemplos:
Aplicado a cualquier expresión general expr, las dos comillas simples hacen que el valor de expr sea sustituido por expr en la expresión de entrada.
(%i1) expand ((a + b)^3);
3 2 2 3
(%o1) b + 3 a b + 3 a b + a
(%i2) [_, ''_];
3 3 2 2 3
(%o2) [expand((b + a) ), b + 3 a b + 3 a b + a ]
(%i3) [%i1, ''%i1];
3 3 2 2 3
(%o3) [expand((b + a) ), b + 3 a b + 3 a b + a ]
(%i4) [aa : cc, bb : dd, cc : 17, dd : 29];
(%o4) [cc, dd, 17, 29]
(%i5) foo_1 (x) := aa - bb * x;
(%o5) foo_1(x) := aa - bb x
(%i6) foo_1 (10);
(%o6) cc - 10 dd
(%i7) ''%;
(%o7) - 273
(%i8) ''(foo_1 (10));
(%o8) - 273
(%i9) foo_2 (x) := ''aa - ''bb * x;
(%o9) foo_2(x) := cc - dd x
(%i10) foo_2 (10);
(%o10) - 273
(%i11) [x0 : x1, x1 : x2, x2 : x3];
(%o11) [x1, x2, x3]
(%i12) x0;
(%o12) x1
(%i13) ''x0;
(%o13) x2
(%i14) '' ''x0;
(%o14) x3
Aplicado al operador de una expresión, la doble comilla simple hace que el operador pase de ser nominal a verbal, a menos que ya sea un verbo.
(%i1) declare (foo, noun); (%o1) done (%i2) foo (x) := x - 1729; (%o2) ''foo(x) := x - 1729 (%i3) foo (100); (%o3) foo(100) (%i4) ''foo (100); (%o4) - 1629
El operador comilla-comilla es aplicado por el analizador sintáctico de entrada; no se almacena como una parte de la expresión de entrada analizada.
(%i1) [aa : bb, cc : dd, bb : 1234, dd : 5678];
(%o1) [bb, dd, 1234, 5678]
(%i2) aa + cc;
(%o2) dd + bb
(%i3) display (_, op (_), args (_));
_ = cc + aa
op(cc + aa) = +
args(cc + aa) = [cc, aa]
(%o3) done
(%i4) ''(aa + cc);
(%o4) 6912
(%i5) display (_, op (_), args (_));
_ = dd + bb
op(dd + bb) = +
args(dd + bb) = [dd, bb]
(%o5) done
El operador comilla-comilla provoca la evaluación de
una expresión cuando ésta no estaba previsto que fuese evaluada, como en la
definición de funciones, expresiones lambda y expresiones comentadas con una comilla simple
'.
(%i1) foo_1a (x) := ''(integrate (log (x), x));
(%o1) foo_1a(x) := x log(x) - x
(%i2) foo_1b (x) := integrate (log (x), x);
(%o2) foo_1b(x) := integrate(log(x), x)
(%i3) dispfun (foo_1a, foo_1b);
(%t3) foo_1a(x) := x log(x) - x
(%t4) foo_1b(x) := integrate(log(x), x)
(%o4) [%t3, %t4]
(%i5) integrate (log (x), x);
(%o5) x log(x) - x
(%i6) foo_2a (x) := ''%;
(%o6) foo_2a(x) := x log(x) - x
(%i7) foo_2b (x) := %;
(%o7) foo_2b(x) := %
(%i8) dispfun (foo_2a, foo_2b);
(%t8) foo_2a(x) := x log(x) - x
(%t9) foo_2b(x) := %
(%o9) [%t7, %t8]
(%i10) F : lambda ([u], diff (sin (u), u));
(%o10) lambda([u], diff(sin(u), u))
(%i11) G : lambda ([u], ''(diff (sin (u), u)));
(%o11) lambda([u], cos(u))
(%i12) '(sum (a[k], k, 1, 3) + sum (b[k], k, 1, 3));
(%o12) sum(b , k, 1, 3) + sum(a , k, 1, 3)
k k
(%i13) '(''(sum (a[k], k, 1, 3)) + ''(sum (b[k], k, 1, 3)));
(%o13) b + a + b + a + b + a
3 3 2 2 1 1
Evalua la expresión expr en el entorno especificado
por los argumentos arg_1, ..., arg_n.
Los argumentos son interruptores (Variables Booleanas), variables de
asignación, ecuaciones y funciones.
ev retorna el resultado (otra expresión) de la evaluación.
La evaluación se realiza por etapas, como sigue:
simp causa que expr sea simplificada sin importar el valor de la variable interruptor simp la cual inhibe la simplificación cuando su valor es false.
noeval suprime la fase de evaluación de ev (Vea el paso (4) más adelante).
Esto es muy útil en conjunción con otras variables interruptor y causan en expr que sea resimplificada sin ser reevaluada.
nouns causa la evaluación de las formas nominales
(típicamente funciones sin evaluar tales como
'integrate or 'diff) en expr.
expand causa expansión.
expand (m, n) causa expansión, asignando los valores de maxposex y
maxnegex a m y n, respectivamente.
detout hace que cualesquiera matrices inversas calculadas en expr conserven su determinante fuera de la inversa, en vez de que divida a cada elemento.
diff realiza todas las diferenciaciones indicadas en expr.
derivlist (x, y, z, ...) realiza sólo las diferenciaciones con respecto a las variables indicadas.
risch hace que las integrales presentes en expr se evalúen mediante
el algoritmo de Risch. Véase también risch. Cuando se utiliza el
símbolo especial nouns, se aplica la rutina estándar de integración.
float provoca la conversión de los números racionales no-enteros a números decimales de coma flotante.
numer causa que algunas funciones matemáticas (incluyendo potenciación) con argumentos numéricos sean evaluados como punto flotante. Esto causa que las variables en expr las cuales hayan sido declaradas como variables numéricas sean reemplazadas por sus respectivos valores. Esto también configura la variable interruptor float a true.
pred provoca la evaluación de los predicados (expresiones las cuales se evaluan a true o false).
eval provoca una post-evaluación extra de expr (véase el paso (5) más adelante), pudiendo aparecer
eval varias veces; por cada aparición de eval, la expresión es reevaluada.
A, donde A es un átomo declarado como una variable de tipo interruptor, (Vea evflag)
causa que A tenga como valor true durante
la evaluación de expr.
V: expresion (o alternativamente V=expresion) causa que
V tenga el valor de expresion durante la evaluación
de expr. Notese que si V es una opción Maxima, entonces
expresion se usa como su valor durante la evaluación de
expr. Si más de un argumento de ev es de este
tipo entonces el vínculo se hace en paralelo. Si V es una
expresión no atómica entonces se hace una sustitución más que
un vínculo.
F donde F, un nombre de función, ha sido declarado para
ser una función de evaluación (Vea evfun) causa que
F sea aplicada a expr.
sum) causa la evaluación de las ocurrencias de esos nombres en expr como si ellos fueran
verbos.
F(x)) puede ser definida localmente para el propósito de esta evaluación
de expr pasando F(x) := expresion como un argumento a
ev.
ev. Esto permite que una
lista de argumentos sea pasada (e.g., [X=1, Y=A**2]) o una lista
de nombres de ecuaciones (e.g., [%t1, %t2] donde %t1 y
%t2 son ecuaciones) tal como lo que es retornado por
solve.
Los argumentos de ev pueden ser pasados en cualquier orden con excepción de la sustitución de ecuaciones las cuales son manipuladas en
secuencia, de izquierda a derecha y las funciones de evaluación las
cuales son compuestas, e.g., ev (expr, ratsimp, realpart)
es manipulada como realpart (ratsimp (expr)).
Los interruptores simp, numer y float
pueden también ser configurados localmente en una sentencia block, o
globalmente en Maxima para que su efecto permanezca hasta que
sean reconfiguradas.
Si expr es una Expresión Racional Canónica (CRE, por sus siglas en inglés), entonces la expresión retornada por ev es también
de tipo CRE, siempre que los interruptores numer y float no sean true.
%
(como en %i2 en el ejemplo de más abajo) así que
este paso simplemente recupera la expresión a la que hace referencia
la etiqueta y así ev puede trabajarla.
noeval) y simplificada de acuerdo a los
argumentos. Notese que cualquier llamada a una función en expr
será llevada a cabo después de que las variables sean evaluadas
en ella y que ev(F(x)) pueda comportarse como F(ev(x)).
eval en los argumentos, se repetirán los pasos (3) y (4).
Ejemplos:
(%i1) sin(x) + cos(y) + (w+1)^2 + 'diff (sin(w), w);
d 2
(%o1) cos(y) + sin(x) + -- (sin(w)) + (w + 1)
dw
(%i2) ev (%, numer, expand, diff, x=2, y=1);
2
(%o2) cos(w) + w + 2 w + 2.449599732693821
Una sintaxis alternativa de alto nivel ha sido desarrollada para ev
por medio de la cual se pueden escribir solamente sus argumentos, sin
el comando ev(); se trata de una forma de escritura simplificada:
expr, arg_1, ..., arg_n
Esta sintaxis no está permitida dentro de otras expresiones, como funciones, bloques, etc.
Nótese el proceso de vínculo en paralelo en el siguiente ejemplo:
(%i3) programmode: false;
(%o3) false
(%i4) x+y, x: a+y, y: 2;
(%o4) y + a + 2
(%i5) 2*x - 3*y = 3$
(%i6) -3*x + 2*y = -4$
(%i7) solve ([%o5, %o6]);
Solución
1
(%t7) y = - -
5
6
(%t8) x = -
5
(%o8) [[%t7, %t8]]
(%i8) %o6, %o8;
(%o8) - 4 = - 4
(%i9) x + 1/x > gamma (1/2);
1
(%o9) x + - > sqrt(%pi)
x
(%i10) %, numer, x=1/2;
(%o10) 2.5 > 1.772453850905516
(%i11) %, pred;
(%o11) true
Como argumento en una llamada a ev (expr), eval
fuerza una evaluación extra de expr.
Véase también ev.
Ejemplo:
(%i1) [a:b,b:c,c:d,d:e]; (%o1) [b, c, d, e] (%i2) a; (%o2) b (%i3) ev(a); (%o3) c (%i4) ev(a),eval; (%o4) e (%i5) a,eval,eval; (%o5) e
Cuando un símbolo x goza de la propiedad evflag,
las expresiones ev(expr, x) y expr, x
(en modo interactivo) equivalen a ev(expr, x = true).
Esto es, a x se le asigna true al tiempo que se evalúa expr.
La expresión declare(x, evflag) dota a la variable x
de la propiedad evflag.
Los interruptores que tienen la propiedad evflag son:
algebraic cauchysum demoivre dotscrules %emode %enumer exponentialize exptisolate factorflag float halfangles infeval isolate_wrt_times keepfloat letrat listarith logabs logarc logexpand lognegint m1pbranch numer_pbranch programmode radexpand ratalgdenom ratfac ratmx ratsimpexpons simp simpproduct simpsum sumexpand trigexpand
Ejemplos:
(%i1) sin (1/2);
1
(%o1) sin(-)
2
(%i2) sin (1/2), float;
(%o2) 0.479425538604203
(%i3) sin (1/2), float=true;
(%o3) 0.479425538604203
(%i4) simp : false;
(%o4) false
(%i5) 1 + 1;
(%o5) 1 + 1
(%i6) 1 + 1, simp;
(%o6) 2
(%i7) simp : true;
(%o7) true
(%i8) sum (1/k^2, k, 1, inf);
inf
====
\ 1
(%o8) > --
/ 2
==== k
k = 1
(%i9) sum (1/k^2, k, 1, inf), simpsum;
2
%pi
(%o9) ----
6
(%i10) declare (aa, evflag);
(%o10) done
(%i11) if aa = true then YES else NO;
(%o11) NO
(%i12) if aa = true then YES else NO, aa;
(%o12) YES
Cuando la función F goza de la propiedad evfun,
las expresiones ev(expr, F) y expr, F
(en modo interactivo) equivalen a F(ev(expr)).
Si se especifican dos o más funciones, F, G, etc., como poseedoras
de la propiedad evfun, éstas se aplican en el mismo orden en el que han sido
especificadas como tales.
La expresión declare(F, evfun) dota a la función F
de la propiedad evfun.
Las funciones que tienen la propiedad evfun por defecto son:
bfloat factor fullratsimp logcontract polarform radcan ratexpand ratsimp rectform rootscontract trigexpand trigreduce
Ejemplos:
(%i1) x^3 - 1;
3
(%o1) x - 1
(%i2) x^3 - 1, factor;
2
(%o2) (x - 1) (x + x + 1)
(%i3) factor (x^3 - 1);
2
(%o3) (x - 1) (x + x + 1)
(%i4) cos(4 * x) / sin(x)^4;
cos(4 x)
(%o4) --------
4
sin (x)
(%i5) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand;
4 2 2 4
sin (x) - 6 cos (x) sin (x) + cos (x)
(%o5) -------------------------------------
4
sin (x)
(%i6) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand, ratexpand;
2 4
6 cos (x) cos (x)
(%o6) - --------- + ------- + 1
2 4
sin (x) sin (x)
(%i7) ratexpand (trigexpand (cos(4 * x) / sin(x)^4));
2 4
6 cos (x) cos (x)
(%o7) - --------- + ------- + 1
2 4
sin (x) sin (x)
(%i8) declare ([F, G], evfun);
(%o8) done
(%i9) (aa : bb, bb : cc, cc : dd);
(%o9) dd
(%i10) aa;
(%o10) bb
(%i11) aa, F;
(%o11) F(cc)
(%i12) F (aa);
(%o12) F(bb)
(%i13) F (ev (aa));
(%o13) F(cc)
(%i14) aa, F, G;
(%o14) G(F(cc))
(%i15) G (F (ev (aa)));
(%o15) G(F(cc))
Habilita el modo de "evaluación infinita". ev repetidamente
evalua una expresión hasta que se pare de hacer cambios. Para prevenir
que una variable, digamos X, sea evaluada sin parar en este modo,
simplemente incluya X='X como argumento de ev.
Esta claro que expresiones como ev (X, X=X+1, infeval) generarán un bucle infinito.
El símbolo noeval evita la fase de evaluación de ev.
Es útil conjuntamente con otras variables globales y para poder volver a
simplificar expresiones sin tener que evaluarlas otra vez.
El símbolo nouns es una evflag, lo que significa
que cuando se utilice como una opción de la instrucción ev,
todas las formas nominales que aparezcan en una expresión las convierte en
verbales, esto es, las evalúa. Véanse también noun, nounify,
verb y verbify.
Cuando se utiliza como argumento en una llamada a
ev (expr), pred provoca que los
predicados (expresiones que se reducen a true o
false) se evalúen.
Véase ev.
Ejemplo:
(%i1) 1<2; (%o1) 1 < 2 (%i2) 1<2,pred; (%o2) true
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