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Gibt die n-te Bernoulli-Zahl der ganzen Zahl n zurück. Hat die
Optionsvariable zerobern den Wert false, werden Bernoulli-Zahlen
unterdrückt, die Null sind.
Siehe auch burn.
(%i1) zerobern: true$
(%i2) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
1 1 1 1 1
(%o2) [1, - -, -, 0, - --, 0, --, 0, - --]
2 6 30 42 30
(%i3) zerobern: false$
(%i4) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
1 1 1 5 691 7 3617 43867
(%o4) [1, - -, -, - --, --, - ----, -, - ----, -----]
2 6 30 66 2730 6 510 798
Gibt das n-te Bernoulli-Polynom in der Variablen x zurück.
Die Riemannsche Zeta-Funktion für das Argument s, die wie folgt definiert ist:
inf
====
\ 1
zeta(s) = > --
/ s
==== k
k = 1
bfzeta gibt einen Wert als große Gleitkommazahl zurück. Die Anzahl
der Stellen wird durch das Argument n angegeben.
Anstatt der Funktion bfzeta ist die Funktion zeta zu bevorzugen,
die sowohl für reelle und komplexe Gleitkommazahlen und Gleitkommazahlen mit
eine beliebigen Genauigkeit die Riemannsche Zeta-Funktion berechnen kann.
Die Hurwitzsche Zeta-Funktion für die Argumente s und h, die wie folgt definiert ist:
inf
====
\ 1
zeta (s,h) = > --------
/ s
==== (k + h)
k = 0
bfhzeta gibt einen Wert als große Gleitkommazahl zurück. Die
Anzahl der Stellen wird durch das Argument n angegeben.
Gibt eine rational Zahl zurück, die eine Näherung für die n-te
Bernoulli Zahl für die ganze Zahl n ist. burn berechnet eine
Näherung als große Gleitkommatzahl mit der folgenden Beziehung:
n - 1 1 - 2 n
(- 1) 2 zeta(2 n) (2 n)!
B(2 n) = ------------------------------------
2 n
%pi
burn kann effizienter als die Funktion bern für große,
einzelne ganze Zahlen n sein, da bern zunächst alle Bernoulli
Zahlen bis n berechnet. burn ruft für ungerade ganze Zahlen und
Zahlen die kleiner oder gleich 255 die Funktion bern auf.
Das Kommando load("bffac") lädt die Funktion. Siehe auch bern.
Löst die simultanen Kongruenzen x = r_1 mod m_1, …, x = r_n mod m_n.
Die Reste r_n und die Moduli m_n müssen ganze Zahlen sein,
die Moduli zusätzlich positiv und paarweise teilerfremd.
(%i1) mods : [1000, 1001, 1003, 1007];
(%o1) [1000, 1001, 1003, 1007]
(%i2) lreduce('gcd, mods);
(%o2) 1
(%i3) x : random(apply("*", mods));
(%o3) 685124877004
(%i4) rems : map(lambda([z], mod(x, z)), mods);
(%o4) [4, 568, 54, 624]
(%i5) chinese(rems, mods);
(%o5) 685124877004
(%i6) chinese([1, 2], [3, n]);
(%o6) chinese([1, 2], [3, n])
(%i7) %, n = 4;
(%o7) 10
divsum(n, k) potenziert die Teiler des Argumentes n
mit dem Argument k und gibt die Summe als Ergebnis zurück.
divsum(n) gibt die Summe der Teiler der Zahl n zurück.
(%i1) divsum (12); (%o1) 28 (%i2) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12; (%o2) 28 (%i3) divsum (12, 2); (%o3) 210 (%i4) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2; (%o4) 210
Gibt die n-te Eulersche Zahl für eine nichtnegative ganze Zahl n zurück.
Für die Euler-Mascheroni Konstante siehe %gamma.
Beispiele:
(%i1) map (euler, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]); (%o1) [1, 0, - 1, 0, 5, 0, - 61, 0, 1385, 0, - 50521]
Standardwert: false
Hat factors_only den Standardwert false, werden von der
Funktion ifactors zusammen mit den berechneten Primfaktoren auch deren
Multiplizitäten angegeben. Hat factors_only den Wert true,
werden nur die Primfaktoren zurück gegeben.
Beispiel: Siehe ifactors.
Gibt die n-te Fibonacci-Zahl zurück. Die Fibonacci-Folge ist rekursiv definiert:
fib(0) = 0 fib(1) = 1 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)
Für negative ganze Zahlen kann die Fibonacci-Folge wie folgt erweitert werden:
n + 1 fib(- n) = (- 1) fib(n)
Nach einem Aufruf der Funktion fib(n), enthält die Systemvariable
prevfib die zur Zahl n vorhergehende Fibonacci-Zahl.
(%i1) map (fib, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]); (%o1) [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
Fibonacci-Zahlen im Ausdruck expr werden durch die Goldene Zahl
%phi ausgedrückt. Siehe %phi.
Beispiele:
(%i1) fibtophi (fib (n));
n n
%phi - (1 - %phi)
(%o1) -------------------
2 %phi - 1
(%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1);
(%o2) - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1)
(%i3) fibtophi (%);
n + 1 n + 1 n n
%phi - (1 - %phi) %phi - (1 - %phi)
(%o3) - --------------------------- + -------------------
2 %phi - 1 2 %phi - 1
n - 1 n - 1
%phi - (1 - %phi)
+ ---------------------------
2 %phi - 1
(%i4) ratsimp (%);
(%o4) 0
Faktorisiert eine positive ganze Zahl n. Sind n = p1^e1 * ... * pk^nk die
Faktoren der ganzen Zahl n, dann gibt ifactor das Ergebnis
[[p1, e1], ..., [pk, ek]] zurück.
Für die Faktorisierung kommen Probedivisionen mit Primzahlen bis 9973, Pollards Rho- und p-1-Methode oder Elliptischen Kurven zum Einsatz.
Die Rückgabe von ifactors wird von der Optionsvariablen factors_only
beeinflusst.
Werden lediglich die Primfaktoren ohne ihre Multiplizität benötigt,
genügt es hierfür, factors_only : true zu setzen.
(%i1) ifactors(51575319651600);
(%o1) [[2, 4], [3, 2], [5, 2], [1583, 1], [9050207, 1]]
(%i2) apply("*", map(lambda([u], u[1]^u[2]), %));
(%o2) 51575319651600
(%i3) ifactors(51575319651600), factors_only : true;
(%o3) [2, 3, 5, 1583, 9050207]
Gibt die Liste [a, b, u] zurück, in der u der
größte gemeinsame Teiler von n und k ist und in der zusätzlich
gilt, dass u = a * n + b * k.
igcdex verwendet den Euklidischen Algorithmus. Siehe auch gcdex.
Die Eingabe load("gcdex") lädt diese Funktion.
Beispiele:
(%i1) load("gcdex")$
(%i2) igcdex(30, 18);
(%o2) [- 1, 2, 6]
(%i3) igcdex(1526757668, 7835626735736);
(%o3) [845922341123, - 164826435, 4]
(%i4) igcdex(fib(20), fib(21));
(%o4) [4181, - 2584, 1]
Gibt die ganzzahlige n-te Wurzel des Betrags von x zurück.
(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$ (%i2) map (lambda ([a], inrt (10^a, 3)), l); (%o2) [2, 4, 10, 21, 46, 100, 215, 464, 1000, 2154, 4641, 10000]
Berechnet das modulare Inverse von n zum Modul m. Das Argument
n muss eine ganze Zahl und der Modul p eine positive ganze Zahl
sein. inv_mod(n, m) gibt false zurück, wenn das modulare Inverse
nicht existiert. Das modulare Inverse existiert, wenn n teilerfremd zum
Modul m ist.
Siehe auch die Funktionen power_mod und mod.
Beispiele:
(%i1) inv_mod(3, 41); (%o1) 14 (%i2) ratsimp(3^-1), modulus = 41; (%o2) 14 (%i3) inv_mod(3, 42); (%o3) false
Gibt die ganzzahlige Wurzel des Betrages von x zurück, wenn x eine ganze Zahl ist. Andernfalls wird eine Substantivform zurückgegeben.
Berechnet das Jacobi-Symbol für die Argumente p und q.
(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$ (%i2) map (lambda ([a], jacobi (a, 9)), l); (%o2) [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
Gibt das kleinste gemeinsame Vielfache der Argumente zurück. Die Argumente können ganze Zahlen und allgemeine Ausdrücke sein.
Mit dem Kommando load("functs") wird die Funktion geladen.
Gibt die n-te Lucas-Zahl zurück. Die Lucas-Folge ist rekursiv definiert:
lucas(0) = 0 lucas(1) = 1 lucas(n) = lucas(n-1) + lucas(n-2)
Für negative ganze Zahlen kann die Lucas-Folge wie folgt erweitert werden:
-n lucas(- n) = (- 1) lucas(n)
(%i1) map (lucas, [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]); (%o1) [7, - 4, 3, - 1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47]
Nach einem Aufruf von lucas enthält die globale Variable
next_lucas den Nachfolger der zuletzt zurc"k gegebenen Lucas-Zahl.
Das Beispiel zeigt, wie Fibonacci-Zahlen mit Hilfe von lucas
und next_lucas berechnet werden können.
(%i1) fib_via_lucas(n) :=
block([lucas : lucas(n)],
signum(n) * (2*next_lucas - lucas)/5 )$
(%i2) map (fib_via_lucas, [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]);
(%o2) [- 3, 2, - 1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21]
Berechnet den Divisionsrest x mod y des Arguments x zum Modul y.
x und y können ganze Zahlen, rationale Zahlen, Gleitkommazahlen
oder allgemeine Ausdrücke sein.
Sind x und y reelle Zahlen und ist y ungleich Null, gibt
mod(x, y) das Ergebnis von x - y *
floor(x / y) zurück. Weiterhin gilt für alle reellen Zahlen
mod(x, 0) = x. Für eine Diskussion dieser Definition siehe
Kapitel 3.4, "Concrete Mathematics" von Graham, Knuth, and Patashnik. Die
Funktion mod(x, 1) ist eine Sägezahnfunktion mit der Periode 1
mit mod(1, 1) = 0 und mod(0, 1) = 0.
Der Hauptwert einer komplexen Zahl, die im Intervall (-%pi, %pi) liegt,
kann mit %pi - mod(%pi - x, 2*%pi) bestimmt werden, wobei x
die komplexe Zahl ist.
Sind x und y konstante Ausdrücke, wie zum Beispiel 10 * %pi,
verwendet mod dasselbe bfloat-Auswertungsschema wie floor
und ceiling. Diese Umwandlung kann, wenn auch unwahrscheinlich,
zu Fehlern führen.
Für nicht numerische Argumente x oder y kennt mod
verschiedene Vereinfachungen.
Siehe auch die Funktionen power_mod und inv_mod.
Beispiele:
Zeige für zwei große ganze Zahlen, dass für das modulare Rechnen die
Regel mod(a+b, m) = mod(mod(a, m) + mod(b, m), m) gilt.
(%i1) a : random(10^20) + 10^19; (%o1) 72588919020045581148 (%i2) b : random(10^20) + 10^19; (%o2) 35463666253140008825 (%i3) m : random(10^20) + 10^19; (%o3) 39127433614020247557 (%i4) mod(a+b, m); (%o4) 29797718045145094859 (%i5) mod(mod(a, m) + mod(b, m), m); (%o5) 29797718045145094859
Vereinfachung für nicht numerische Argumente.
(%i1) mod (x, 0); (%o1) x (%i2) mod (a*x, a*y); (%o2) a mod(x, y) (%i3) mod (0, x); (%o3) 0
Gibt die kleinste Primzahl zurück, die der Zahl n folgt.
(%i1) next_prime(27); (%o1) 29
Verwendet einen modularen Algorithmus, um a^n mod m zu berechnen.
Die Argumente a und n müssen ganze Zahlen und der Modul m
eine positive ganze Zahl sein. Ist n negativ, wird inv_mod zur
Berechnung des modularen Inversen aufgerufen.
power_mod (a, n, m) ist äquivalent zu
mod(a^n, m). Der Algorithmus von power_mod ist jedoch
insbesondere für große ganze Zahlen wesentlich effizienter.
Siehe auch die Funktionen inv_mod und mod.
Beispiele:
power_mod(a, n, m) ist äquivalent zu mod(a^n, m. Das modulare
Inverse wird mit der Funktion inv_mod berechnet.
(%i1) power_mod(3, 15, 5); (%o1) 2 (%i2) mod(3^15, 5); (%o2) 2 (%i3) power_mod(2, -1, 5); (%o3) 3 (%i4) inv_mod(2, 5); (%o4) 3
Für große ganze Zahlen ist power_mod effizienter. Der folgende
Wert kann in keiner vernünftigen Zeit mit mod(a^n, m) berechnet
werden.
(%i1) power_mod(123456789, 123456789, 987654321); (%o1) 598987215
Führt einen Primzahltest für das Argument n durch. Liefert
primep das Ergebnis false, ist n keine Primzahl. Ist das
Ergebnis true, ist n mit sehr großer Wahrscheinlichkeit eine
Primzahl.
Für ganze Zahlen n kleiner als 3317044064679887385961981 wird eine deterministische
Variante des Miller-Rabin-Tests angewandt. Hat in diesem Fall primep den Wert
true, dann ist n mit Sicherheit eine Primzahl.
Für ganze Zahlen n größer 3317044064679887385961981 führt primep
primep_number_of_tests Pseudo-Primzahl-Tests nach Miller-Rabin und
einen Pseudo-Primzahl-Test nach Lucas durch. Die Wahrscheinlichkeit, dass
eine zusammen gesetzte Zahl n einen Miller-Rabin-Test besteht, ist kleiner
als 1/4. Mit dem Standardwert 25 primpe_number_of_tests sinkt diese
Wahrscheinlichkeit damit unter einen Wert von 10^-15.
Standardwert: 25
Die Anzahl der Pseudo-Primzahl-Tests nach Miller-Rabin in der Funktion
primep.
Gibt eine Liste mit allen Primzahlen von start bis end zurück.
(%i1) primes(3, 7); (%o1) [3, 5, 7]
Gibt die größte Primzahl zurück, die kleiner als die Zahl n ist.
(%i1) prev_prime(27); (%o1) 23
Findet für das Argument n Lösungen der Pellschen Gleichung
a^2 - n b^2 = 1.
(%i1) qunit (17); (%o1) sqrt(17) + 4 (%i2) expand (% * (sqrt(17) - 4)); (%o2) 1
Gibt die Anzahl der ganzen Zahlen zurück, die kleiner oder gleich n und teilerfremd zu n sind.
Standardwert: true
Hat zerobern den Wert false, werden von den Funktionen bern
diejenigen Bernoulli-Zahlen und von euler diejenigen Euler-Zahlen
ausgeschlossen, die gleich Null sind. Siehe bern und euler.
Die Riemannsche Zeta-Funktion für s, die wie folgt definiert ist:
inf
====
\ 1
zeta(s) = > --
/ s
==== k
k = 1
Für negative ganze Zahlen n, Null und positive gerade ganze Zahlen
wird zeta zu einem exakten Ergebnis vereinfacht.
Damit diese Vereinfachung für positive ganze Zahlen ausgeführt wird,
muss die Optionsvariable zeta%pi den Wert true haben.
Siehe zeta%pi. Für einfache und beliebig genaue Gleitkommazahlen
(Typ bfloat) hat zeta ein numerisches Ergebnis.
Für alle anderen Argumente einschließlich der komplexen und
rationalen Zahlen gibt zeta eine Substantivform zurück. Hat die
Optionsvariable zeta%pi den Wert false, gibt zeta auch
für gerade ganze Zahlen eine Substantivform zurück.
zeta(1) ist nicht definiert. Maxima kennt jedoch die einseitigen
Grenzwerte limit(zeta(x), x, 1, plus und
limit(zeta(x), x, 1, minus.
Die Riemannsche Zeta-Funktion wird auf die Argumente von Listen, Matrizen und
Gleichungen angewendet, wenn die Optionsvariable distribute_over
den Wert true hat.
Siehe auch bfzeta und zeta%pi.
Beispiele:
(%i1) zeta([-2,-1,0,0.5,2,3,1+%i]);
2
1 1 %pi
(%o1) [0, - --, - -, - 1.460354508809586, ----, zeta(3),
12 2 6
zeta(%i + 1)]
(%i2) limit(zeta(x),x,1,plus);
(%o2) inf
(%i3) limit(zeta(x),x,1,minus);
(%o3) minf
Standardwert: true
Hat zeta%pi den Wert true, vereinfacht die Funktion zeta(n)
für gerade ganzen Zahlen n zu einem Ergebnis, das proportional zu
%pi^n ist. Ansonsten ist das Ergebnis von zeta eine
Substantivform für gerade ganze Zahlen.
Beispiele:
(%i1) zeta%pi: true$
(%i2) zeta (4);
4
%pi
(%o2) ----
90
(%i3) zeta%pi: false$
(%i4) zeta (4);
(%o4) zeta(4)
zeigt eine Additionstabelle von allen Elementen in (Z/nZ).
Siehe auch zn_mult_table, zn_power_table.
Gibt eine Liste mit den charakteristischen Faktoren des Totienten von n zurück.
Mit Hilfe der charakteristischen Faktoren kann eine modulo n multiplikative Gruppe als direktes Produkt zyklischer Untergruppen dargestellt werden.
Ist die Gruppe selbst zyklisch, dann enthält die Liste nur den Totienten
und mit zn_primroot kann ein Generator berechnet werden.
Zerfällt der Totient in mehrere charakteristische Faktoren,
können Generatoren der entsprechenden Untergruppen mit zn_factor_generators
ermittelt werden.
Jeder der r Faktoren in der Liste teilt die weiter rechts stehenden Faktoren.
Fuer den letzten Faktor f_r gilt daher a^f_r = 1 (mod n)
für alle a teilerfremd zu n.
Dieser Faktor ist auch als Carmichael Funktion bzw. Carmichael Lambda bekannt.
Für n > 2 ist totient(n)/2^r die Anzahl der quadratischen Reste
in der Gruppe und jeder dieser Reste hat 2^r Wurzeln.
Siehe auch totient, zn_primroot, zn_factor_generators.
Beispiele:
Die multiplikative Gruppe modulo 14 ist zyklisch und ihre 6 Elemente
lassen sich durch eine Primitivwurzel erzeugen.
(%i1) [zn_characteristic_factors(14), phi: totient(14)]; (%o1) [[6], 6] (%i2) [zn_factor_generators(14), g: zn_primroot(14)]; (%o2) [[3], 3] (%i3) M14: makelist(power_mod(g,i,14), i,0,phi-1); (%o3) [1, 3, 9, 13, 11, 5]
Die multiplikative Gruppe modulo 15 ist nicht zyklisch und ihre 8 Elemente
lassen sich mit Hilfe zweier Faktorgeneratoren erzeugen.
(%i1) [[f1,f2]: zn_characteristic_factors(15), totient(15)]; (%o1) [[2, 4], 8] (%i2) [[g1,g2]: zn_factor_generators(15), zn_primroot(15)]; (%o2) [[11, 7], false] (%i3) UG1: makelist(power_mod(g1,i,15), i,0,f1-1); (%o3) [1, 11] (%i4) UG2: makelist(power_mod(g2,i,15), i,0,f2-1); (%o4) [1, 7, 4, 13] (%i5) M15: create_list(mod(i*j,15), i,UG1, j,UG2); (%o5) [1, 7, 4, 13, 11, 2, 14, 8]
Für den letzten charakteristischen Faktor 4 gilt
a^4 = 1 (mod 15) fuer alle a in M15.
M15 hat 2 charakteristische Faktoren und daher die 8/2^2
quadratischen Reste 1 und 4, und diese haben jeweils 2^2 Wurzeln.
(%i6) zn_power_table(15);
[ 1 1 1 1 ]
[ ]
[ 2 4 8 1 ]
[ ]
[ 4 1 4 1 ]
[ ]
[ 7 4 13 1 ]
(%o6) [ ]
[ 8 4 2 1 ]
[ ]
[ 11 1 11 1 ]
[ ]
[ 13 4 7 1 ]
[ ]
[ 14 1 14 1 ]
(%i7) map(lambda([i], zn_nth_root(i,2,15)), [1,4]);
(%o7) [[1, 4, 11, 14], [2, 7, 8, 13]]
Gibt 1 zurück, wenn n gleich 1 ist und andernfalls
den größten charakteristischen Faktor des Totienten von n.
Für Erläuterungen und Beispiele siehe zn_characteristic_factors.
verwendet die Technik der LR-Dekomposition, um die Determinante der Matrix matrix über (Z/pZ) zu berechnen, wobei p eine Primzahl sein muss.
Ist die Determinante nicht von Null verschieden, kann es sein, dass die
LR-Dekomposition nicht möglich ist. zn_determinant berechnet
diesem Fall die Determinante nicht-modular und reduziert im Nachhinein.
Siehe auch zn_invert_by_lu.
Beispiel:
(%i1) m : matrix([1,3],[2,4]);
[ 1 3 ]
(%o1) [ ]
[ 2 4 ]
(%i2) zn_determinant(m, 5);
(%o2) 3
(%i3) m : matrix([2,4,1],[3,1,4],[4,3,2]);
[ 2 4 1 ]
[ ]
(%o3) [ 3 1 4 ]
[ ]
[ 4 3 2 ]
(%i4) zn_determinant(m, 5);
(%o4) 0
Gibt eine Liste mit Faktorgeneratoren zurück, die zu den charakteristischen Faktoren des Totienten von n passen.
Für Erläuterungen und Beispiele siehe zn_characteristic_factors.
verwendet die Technik der LR-Dekomposition, um ein modulares Inverses der
Matrix matrix über (Z/pZ) zu berechnen. Voraussetzung ist,
dass matrix invertierbar und p eine Primzahl ist.
Sollte matrix nicht invertierbar sein, gibt zn_invert_by_lu
false zurc"k.
Siehe auch zn_determinant.
Beispiele:
(%i1) m : matrix([1,3],[2,4]);
[ 1 3 ]
(%o1) [ ]
[ 2 4 ]
(%i2) zn_determinant(m, 5);
(%o2) 3
(%i3) mi : zn_invert_by_lu(m, 5);
[ 3 4 ]
(%o3) [ ]
[ 1 2 ]
(%i4) matrixmap(lambda([a], mod(a, 5)), m . mi);
[ 1 0 ]
(%o4) [ ]
[ 0 1 ]
Berechnet den diskreten Logarithmus. Sei (Z/nZ)* eine zyklische Gruppe,
g eine Primitivwurzel modulo n oder der Generator einer Untergruppe
von (Z/nZ)* und a ein Element dieser Gruppe.
Dann berechnet zn_log (a, g, n) eine Lösung der Kongruenz
g^x = a mod n. Man beachte, dass zn_log nicht terminiert,
falls a keine Potenz von g modulo n ist.
Der verwendete Algorithmus benötigt die Primfaktorzerlegung von zn_order(g)
bzw. des Totienten von n.
Da diese Berechnung ebenfalls zeitaufwändig ist, kann es eventuell sinnvoll
sein, die Primfaktoren von zn_order(g) vorab zu berechnen und zn_log als
viertes Argument zu übergeben. Die Form muss dabei der Rückgabe von
ifactors(totient(n)) mit der Standardeinstellung false der
Optionsvariable factors_only entsprechen.
Verglichen mit der Laufzeit für die Berechnung des Logarithmus hat dies jedoch nur
einen recht kleinen Effekt.
Als Algorithmus wird die Pohlig-Hellman-Reduktion und das Rho-Verfahren von
Pollard für den diskreten Logarithmus verwendet. Die Laufzeit von zn_log
hängt im Wesentlichen von der Bitlänge des größten Primfaktors des
Totienten von n ab.
Siehe auch zn_primroot, zn_order, ifactors, totient.
Beispiele:
zn_log (a, g, n) findet eine Lösung der Kongruenz g^x = a mod n.
(%i1) n : 22$ (%i2) g : zn_primroot(n); (%o2) 7 (%i3) ord_7 : zn_order(7, n); (%o3) 10 (%i4) powers_7 : makelist(power_mod(g, x, n), x, 0, ord_7 - 1); (%o4) [1, 7, 5, 13, 3, 21, 15, 17, 9, 19] (%i5) zn_log(9, g, n); (%o5) 8 (%i6) map(lambda([x], zn_log(x, g, n)), powers_7); (%o6) [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] (%i7) ord_5 : zn_order(5, n); (%o7) 5 (%i8) powers_5 : makelist(power_mod(5,x,n), x, 0, ord_5 - 1); (%o8) [1, 5, 3, 15, 9] (%i9) zn_log(9, 5, n); (%o9) 4
Das optionale vierte Argument muss der Rückgabe von ifactors(totient(n))
entsprechen.
Die Laufzeit hängt im Wesentlichen von der Bitlänge des größten
Primfaktors von zn_order(g) ab.
(%i1) (p : 2^127-1, primep(p)); (%o1) true (%i2) ifs : ifactors(p - 1)$ (%i3) g : zn_primroot(p, ifs); (%o3) 43 (%i4) a : power_mod(g, 4711, p)$ (%i5) zn_log(a, g, p, ifs); (%o5) 4711 (%i6) f_max : last(ifs); (%o6) [77158673929, 1] (%i7) ord_5 : zn_order(5,p,ifs)$ (%i8) (p - 1)/ord_5; (%o8) 73 (%i9) ifs_5 : ifactors(ord_5)$ (%i10) a : power_mod(5, 4711, p)$ (%i11) zn_log(a, 5, p, ifs_5); (%o11) 4711
Ohne das optionale Argument gcd zeigt zn_mult_table(n)
eine Multiplikationstabelle von allen Elementen in (Z/nZ)*,
d.h. von allen zu n teilerfremden Elementen.
Das optionale zweite Argument gcd erlaubt es, eine bestimmte Untermenge
von (Z/nZ) auszuwählen.
Ist gcd eine natürliche Zahl, enthält die Multiplikationstabelle
alle Restklassen x mit gcd(x,n) = gcd.
Zur besseren Lesbarkeit werden Zeilen- und Spaltenköpfe hinzugefügt.
Falls notwendig, lassen sich diese mit submatrix(1, tabelle, 1)
wieder einfach entfernen.
Wird gcd auf all gesetzt, wird die Tabelle für sämtliche
von Null verschiedene Elemente in (Z/nZ) ausgegeben.
Das zweite Beispiel unten zeigt einen alternativen Weg, für Untergruppen eine Multiplikationstabelle zu erzeugen.
Siehe auch zn_add_table, zn_power_table.
Beispiele:
Die Standardtabelle zeigt alle Elemente aus (Z/nZ)* und erlaubt, grundlegende Eigenschaften von modularen Multiplikationsgruppen zu zeigen und zu studieren. Z.B. stehen in der Hauptdiagonale sämtliche quadratische Reste, jede Zeile und Spalte enthält alle Elemente, die Tabelle ist symmetrisch, etc..
Wird gcd auf all gesetzt, wird die Tabelle für sämtliche
von Null verschiedene Elemente in (Z/nZ) ausgegeben.
(%i1) zn_mult_table(8);
[ 1 3 5 7 ]
[ ]
[ 3 1 7 5 ]
(%o1) [ ]
[ 5 7 1 3 ]
[ ]
[ 7 5 3 1 ]
(%i2) zn_mult_table(8, all);
[ 1 2 3 4 5 6 7 ]
[ ]
[ 2 4 6 0 2 4 6 ]
[ ]
[ 3 6 1 4 7 2 5 ]
[ ]
(%o2) [ 4 0 4 0 4 0 4 ]
[ ]
[ 5 2 7 4 1 6 3 ]
[ ]
[ 6 4 2 0 6 4 2 ]
[ ]
[ 7 6 5 4 3 2 1 ]
Ist gcd eine Zahl, wird zur besseren Lesbarkeit ein Zeilen- und Spaltenkopf hinzugefügt.
Ist die mit gcd ausgewählte Teilmenge eine Gruppe, gibt es einen
alternativen Weg, die Multiplikationstabelle zu erzeugen.
Die Isomorphie zu einer Gruppe mit 1 als Identität lässt sich nutzen,
um eine leicht lesbare Tabelle zu erhalten. Die Abbildung gelingt mit dem CRT.
In der so erzeugten zweiten Version der Tabelle T36_4 steht genau wie
bei T9 die Identität, hier 28, in der linken oberen Ecke.
(%i1) T36_4: zn_mult_table(36,4);
[ * 4 8 16 20 28 32 ]
[ ]
[ 4 16 32 28 8 4 20 ]
[ ]
[ 8 32 28 20 16 8 4 ]
[ ]
(%o1) [ 16 28 20 4 32 16 8 ]
[ ]
[ 20 8 16 32 4 20 28 ]
[ ]
[ 28 4 8 16 20 28 32 ]
[ ]
[ 32 20 4 8 28 32 16 ]
(%i2) T9: zn_mult_table(36/4);
[ 1 2 4 5 7 8 ]
[ ]
[ 2 4 8 1 5 7 ]
[ ]
[ 4 8 7 2 1 5 ]
(%o2) [ ]
[ 5 1 2 7 8 4 ]
[ ]
[ 7 5 1 8 4 2 ]
[ ]
[ 8 7 5 4 2 1 ]
(%i3) T36_4: matrixmap(lambda([x], chinese([0,x],[4,9])), T9);
[ 28 20 4 32 16 8 ]
[ ]
[ 20 4 8 28 32 16 ]
[ ]
[ 4 8 16 20 28 32 ]
(%o3) [ ]
[ 32 28 20 16 8 4 ]
[ ]
[ 16 32 28 8 4 20 ]
[ ]
[ 8 16 32 4 20 28 ]
Gibt eine Liste mit allen n-ten Wurzeln von x aus der multiplikativen
Untergruppe von (Z/mZ) zurück, in der sich x befindet,
oder false, falls x keine n-te Potenz modulo m oder
kein Element einer multiplikativen Untergruppe von (Z/mZ) ist.
x ist Element einer multiplikativen Untergruppe modulo m, wenn der
größte gemeinsame Teiler g = gcd(x,m) zu m/g teilerfremd ist.
zn_nth_root basiert auf einem Algorithmus von Adleman, Manders und Miller
und Sätzen über modulare Multiplikationsgruppen von Daniel Shanks.
Der Algorithmus benötigt eine Primfaktorzerlegung des Modulus m.
Es kann eventuell sinnvoll sein, diese Zerlegung vorab zu berechnen und
als viertes Argument zu übergeben. Die Form muss dabei der Rückgabe von
ifactors(m) mit der Standardeinstellung false der
Optionsvariable factors_only entsprechen.
Beispiele:
Eine Potenztabelle der multiplikativen Gruppe modulo 14
gefolgt von einer Liste mit Listen von n-ten Wurzeln der 1,
wobei n von 1 bis 6 variiert.
(%i1) zn_power_table(14);
[ 1 1 1 1 1 1 ]
[ ]
[ 3 9 13 11 5 1 ]
[ ]
[ 5 11 13 9 3 1 ]
(%o1) [ ]
[ 9 11 1 9 11 1 ]
[ ]
[ 11 9 1 11 9 1 ]
[ ]
[ 13 1 13 1 13 1 ]
(%i2) makelist(zn_nth_root(1,n,14), n,1,6);
(%o2) [[1], [1, 13], [1, 9, 11], [1, 13], [1], [1, 3, 5, 9, 11, 13]]
Im folgenden Beispiel ist x nicht zu m teilerfremd, aber es ist Element einer multiplikativen Untergruppe von (Z/mZ) und jede n-te Wurzel ist aus der selben Untergruppe.
Die Restklasse 3 ist kein Element in irgend einer multiplikativen
Untergruppe von (Z/63Z) und wird daher nicht als dritte Wurzel von 27
zurück gegeben.
Hier zeigt zn_power_table alle Reste x in (Z/63Z)
mit gcd(x,63) = 9. Diese Untergruppe ist isomorph zu (Z/7Z)*
und seine Identität 36 wird mit Hilfe des CRT berechnet.
(%i1) m: 7*9$
(%i2) zn_power_table(m,9);
[ 9 18 36 9 18 36 ]
[ ]
[ 18 9 36 18 9 36 ]
[ ]
[ 27 36 27 36 27 36 ]
(%o2) [ ]
[ 36 36 36 36 36 36 ]
[ ]
[ 45 9 27 18 54 36 ]
[ ]
[ 54 18 27 9 45 36 ]
(%i3) zn_nth_root(27,3,m);
(%o3) [27, 45, 54]
(%i4) id7:1$ id63_9: chinese([id7,0],[7,9]);
(%o5) 36
Im folgenden RSA-ähnlichen Beispiel, in dem der Modulus N quadratfrei ist,
d.h. in paarweise verschiedene Primfaktoren zerfällt,
ist jedes x von 0 bis N-1
in einer multiplikativen Untergruppe enthalten.
Zur Entschlüsselung wird die e-te Wurzel berechnet.
e ist teilerfremd zu N und die e-te Wurzel ist deshalb
eindeutig. zn_nth_root wendet hier effektiv den als CRT-RSA
bekannten Algorithmus an.
(Man beachte, dass flatten Klammern entfernt und keine Lösungen.)
(%i1) [p,q,e]: [5,7,17]$ N: p*q$ (%i3) xs: makelist(x,x,0,N-1)$ (%i4) ys: map(lambda([x],power_mod(x,e,N)),xs)$ (%i5) zs: flatten(map(lambda([y], zn_nth_root(y,e,N)), ys))$ (%i6) is(zs = xs); (%o6) true
Im folgenden Beispiel ist die Faktorisierung des Modulus bekannt und wird als viertes Argument übergeben.
(%i1) p: 2^107-1$ q: 2^127-1$ N: p*q$ (%i4) ibase: obase: 16$ (%i5) msg: 11223344556677889900aabbccddeeff$ (%i6) enc: power_mod(msg, 10001, N); (%o6) 1a8db7892ae588bdc2be25dd5107a425001fe9c82161abc673241c8b383 (%i7) zn_nth_root(enc, 10001, N, [[p,1],[q,1]]); (%o7) [11223344556677889900aabbccddeeff]
Ist x eine Einheit in der endlichen Gruppe (Z/nZ)*, so berechnet
zn_order die Ordnung dieses Elements. Andernfalls gibt zn_order
false zurück. x ist eine Einheit modulo n, falls x
teilerfremd zu n ist.
Der verwendete Algorithmus benötigt die Primfaktorzerlegung des Totienten von n.
Da diese Berechnung manchmal recht zeitaufwändig ist, kann es eventuell sinnvoll
sein, die Primfaktoren des Totienten vorab zu berechnen und zn_order als
drittes Argument zu übergeben. Die Form muss dabei der Rückgabe von
ifactors(totient(n)) mit der Standardeinstellung false der
Optionsvariable factors_only entsprechen.
Siehe auch zn_primroot, ifactors, totient.
Beispiele:
zn_order berechnet die Ordnung einer Einheit x aus (Z/nZ)*.
(%i1) n : 22$ (%i2) g : zn_primroot(n); (%o2) 7 (%i3) units_22 : sublist(makelist(i,i,1,21), lambda([x], gcd(x, n) = 1)); (%o3) [1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21] (%i4) (ord_7 : zn_order(7, n)) = totient(n); (%o4) 10 = 10 (%i5) powers_7 : makelist(power_mod(g,i,n), i,0,ord_7 - 1); (%o5) [1, 7, 5, 13, 3, 21, 15, 17, 9, 19] (%i6) map(lambda([x], zn_order(x, n)), powers_7); (%o6) [1, 10, 5, 10, 5, 2, 5, 10, 5, 10] (%i7) map(lambda([x], ord_7/gcd(x, ord_7)), makelist(i, i,0,ord_7 - 1)); (%o7) [1, 10, 5, 10, 5, 2, 5, 10, 5, 10] (%i8) totient(totient(n)); (%o8) 4
Das optionale dritte Argument muss der Rückgabe von ifactors(totient(n))
entsprechen.
(%i1) (p : 2^142 + 217, primep(p)); (%o1) true (%i2) ifs : ifactors( totient(p) )$ (%i3) g : zn_primroot(p, ifs); (%o3) 3 (%i4) is( (ord_3 : zn_order(g, p, ifs)) = totient(p) ); (%o4) true (%i5) map(lambda([x], ord_3/zn_order(x, p, ifs)), makelist(i,i,2,15)); (%o5) [22, 1, 44, 10, 5, 2, 22, 2, 8, 2, 1, 1, 20, 1]
Ohne ein optionales Argument zeigt zn_power_table(n)
eine Potenzierungstabelle von allen Elementen in (Z/nZ)*,
d.h. von allen zu n teilerfremden Elementen.
Der Exponent variiert dabei jeweils zwischen 1 und
dem größten charakteristischen Faktor des Totienten von n
(auch bekannt als Carmichael Funktion bzw. Carmichael Lambda),
so dass die Tabelle rechts mit einer Spalte von Einsen endet.
Das optionale zweite Argument gcd erlaubt es, eine bestimmte Untermenge
von (Z/nZ) auszuwählen.
Ist gcd eine natürliche Zahl, werden Potenzen von allen Restklassen
x mit gcd(x,n) = gcd zurück gegeben,
d.h. gcd ist standardmäßig 1.
Wird gcd auf all gesetzt, wird die Tabelle für sämtliche
Elemente in (Z/nZ) ausgegeben.
Wird das optionale dritte Argument max_exp angegeben, variiert der
Exponent zwischen 1 und max_exp.
Siehe auch zn_add_table, zn_mult_table.
Beispiele:
Die Standardeinstellung gcd = 1 erlaubt es, grundlegende Sätze,
wie die von Fermat and Euler, zu zeigen und zu betrachten.
Das Argument gcd erlaubt es, bestimmte Teilmengen von (Z/nZ) auszuwählen und multiplikative Untergruppen und Isomorphismen zu untersuchen.
Z.B. sind die Gruppen G10 und G10_2 unter der Multiplikation
beide isomorph zu G5. 1 ist die Identität in G5.
So sind 1 bzw. 6 die Identitäten in G10 bzw. G10_2.
Entsprechende Zuordnungen ergeben sich bei den Primitivwurzeln, n-ten Wurzeln, etc..
(%i1) zn_power_table(10);
[ 1 1 1 1 ]
[ ]
[ 3 9 7 1 ]
(%o1) [ ]
[ 7 9 3 1 ]
[ ]
[ 9 1 9 1 ]
(%i2) zn_power_table(10,2);
[ 2 4 8 6 ]
[ ]
[ 4 6 4 6 ]
(%o2) [ ]
[ 6 6 6 6 ]
[ ]
[ 8 4 2 6 ]
(%i3) zn_power_table(10,5);
(%o3) [ 5 5 5 5 ]
(%i4) zn_power_table(10,10);
(%o4) [ 0 0 0 0 ]
(%i5) G5: [1,2,3,4];
(%o6) [1, 2, 3, 4]
(%i6) G10_2: map(lambda([x], chinese([0,x],[2,5])), G5);
(%o6) [6, 2, 8, 4]
(%i7) G10: map(lambda([x], power_mod(3, zn_log(x,2,5), 10)), G5);
(%o7) [1, 3, 7, 9]
Wird gcd auf all gesetzt, wird die Tabelle für sämtliche
Elemente in (Z/nZ) ausgegeben.
Das dritte Argument max_exp erlaubt, den höchsten Exponenten zu wählen. Die folgende Tabelle zeigt ein kleines RSA-Beispiel.
(%i1) N:2*5$ phi:totient(N)$ e:7$ d:inv_mod(e,phi)$
(%i5) zn_power_table(N, all, e*d);
[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]
[ ]
[ 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 ]
[ ]
[ 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 ]
[ ]
[ 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 ]
(%o5) [ ]
[ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ]
[ ]
[ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ]
[ ]
[ 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 ]
[ ]
[ 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 ]
[ ]
[ 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 ]
Ist die multiplikative Gruppe (Z/nZ)* zyklisch, berechnet zn_primroot
die kleinste Primitivwurzel modulo n. Dies ist der Fall, wenn n gleich
2, 4, p^k oder 2*p^k ist, wobei p ungerade und
prim und k eine natürliche Zahl ist. zn_primroot
führt einen entsprechenden Prätest durch, wenn die Optionsvariable
zn_primroot_pretest (Standardwert: false) true gesetzt wurde.
In jedem Fall wird die Suche durch die obere Schranke zn_primroot_limit begrenzt.
Ist (Z/nZ)* nicht zyklisch oder kann bis zn_primroot_limit
keine Primitivwurzel modulo n gefunden werden, gibt zn_primroot
false zurück.
Der verwendete Algorithmus benötigt die Primfaktorzerlegung des Totienten von n.
Diese Berechnung kann zeitaufwändig sein und es kann daher eventuell sinnvoll
sein, die Primfaktoren des Totienten vorab zu berechnen und zn_primroot
als zusätzliches Argument zu übergeben. Die Form muss dabei der Rückgabe
von ifactors(totient(n)) mit der Standardeinstellung false der
Optionsvariable factors_only entsprechen.
Siehe auch zn_primroot_p, zn_order, ifactors, totient.
Beispiele:
zn_primroot berechnet die kleinste Primitivwurzel modulo n oder gibt
false zurück.
(%i1) n : 14$ (%i2) g : zn_primroot(n); (%o2) 3 (%i3) zn_order(g, n) = totient(n); (%o3) 6 = 6 (%i4) n : 15$ (%i5) zn_primroot(n); (%o5) false
Das optionale zweite Argument muss der Rückgabe von ifactors(totient(n))
entsprechen.
(%i1) (p : 2^142 + 217, primep(p));
(%o1) true
(%i2) ifs : ifactors( totient(p) )$
(%i3) g : zn_primroot(p, ifs);
(%o3) 3
(%i4) [time(%o2), time(%o3)];
(%o4) [[15.556972], [0.004]]
(%i5) is(zn_order(g, p, ifs) = p - 1);
(%o5) true
(%i6) n : 2^142 + 216$
(%i7) ifs : ifactors(totient(n))$
(%i8) zn_primroot(n, ifs),
zn_primroot_limit : 200, zn_primroot_verbose : true;
`zn_primroot' stopped at zn_primroot_limit = 200
(%o8) false
Standardwert: 1000
Definiert die obere Schranke für die Suche von zn_primroot nach einer
Primitivwurzel. Wurde die Optionsvariable zn_primroot_verbose
(Standardwert: false) true gesetzt, wird beim Erreichen von
zn_primroot_limit ein entsprechender Hinweis ausgegeben.
Testet, ob x eine Primitivwurzel in der multiplikativen Gruppe (Z/nZ)* ist.
Der verwendete Algorithmus benötigt die Primfaktorzerlegung des Totienten von
n. Wird dieser Test nacheinander auf mehrere Zahlen angewandt,
kann es sinnvoll sein, die Primfaktoren des Totienten vorab zu berechnen
und zn_primroot_p als zusätzliches drittes Argument zu übergeben.
Die Form muss dabei der Rückgabe von ifactors(totient(n)) mit der
Standardeinstellung false der Optionsvariable factors_only
entsprechen.
Siehe auch zn_primroot, zn_order, ifactors, totient.
Beispiele:
zn_primroot_p als Prädikatfunktion.
(%i1) n : 14$ (%i2) units_14 : sublist(makelist(i,i,1,13), lambda([i], gcd(i, n) = 1)); (%o2) [1, 3, 5, 9, 11, 13] (%i3) zn_primroot_p(13, n); (%o3) false (%i4) sublist(units_14, lambda([x], zn_primroot_p(x, n))); (%o4) [3, 5] (%i5) map(lambda([x], zn_order(x, n)), units_14); (%o5) [1, 6, 6, 3, 3, 2]
Das optionale dritte Argument muss der Rückgabe von ifactors(totient(n))
entsprechen.
(%i1) (p : 2^142 + 217, primep(p)); (%o1) true (%i2) ifs : ifactors( totient(p) )$ (%i3) sublist(makelist(i,i,1,50), lambda([x], zn_primroot_p(x, p, ifs))); (%o3) [3, 12, 13, 15, 21, 24, 26, 27, 29, 33, 38, 42, 48] (%i4) [time(%o2), time(%o3)]; (%o4) [[7.748484], [0.036002]]
Standardwert: false
Eine multiplikative Gruppe (Z/nZ)* ist zyklisch, wenn n gleich
2, 4, p^k oder 2*p^k ist, wobei p prim und
größer 2 und k eine natürliche Zahl ist.
zn_primroot_pretest entscheidet darüber, ob zn_primroot vor
der Berechnung der kleinsten Primitivwurzel in (Z/nZ)* überprüft,
ob auf n überhaupt einer der oben genannten Fälle zutrifft. Nur wenn
zn_primroot_pretest true ist, wird dieser Prätest ausgeführt.
Standardwert: false
Entscheidet, ob zn_primroot beim Erreichen von zn_primroot_limit
einen Hinweis ausgibt.
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