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In Einführung in die Kommandozeile sind die vier Phasen der Eingabe, Auswertung, Vereinfachung und Ausgabe erläutert, die jede Eingabe des Nutzers bis zur Ausgabe auf der Konsole durchläuft.
Jede Eingabe eines Ausdrucks expr wird von Maxima ausgewertet. Symbole, die keinen Wert haben, und Zahlen werden zu sich selbst ausgewertet. Symbole, die einen Wert haben, werden durch ihren Wert ersetzt.
Beispiele:
Im ersten Beispiel werden Symbole und Zahlen zu sich selbst ausgewertet. Im
zweiten Beispiel erhält die Variable a den Wert 2. In den
folgenden Ausdrücken wird die Variable a ausgewertet und durch ihren
Wert ersetzt.
(%i1) [a, b, 2, 1/2, 1.0];
1
(%o1) [a, b, 2, -, 1.0]
2
(%i2) a:2$
(%i3) [a, sin(a), a^2];
(%o3) [2, sin(2), 4]
Maxima unterscheidet Funktionen in einer Verbform von Funktionen in einer
Substantivform. Funktionen in einer Verbform werden ausgewertet, indem die
Funktion auf die ausgewerteten Argumente angewendet wird. Im Gegensatz dazu
werden Funktionen in einer Substantivform nicht auf die Argumente angewendet,
jedoch werden die Argumente weiterhin ausgewertet. Funktionen können in
beiden Formen auftreten. Typische Beispiele sind die Differentiation mit der
Funktion diff oder die Integration mit der Funktion integrate.
Siehe zum diesem Thema auch Substantive und Verben.
Beispiele:
Die Variable a erhält einen Wert. Im ersten Fall liegt die Funktion
diff in ihrer Verbform vor. Die Auswertung bewirkt, dass die Funktion
auf die Argumente a*x^2 und x angewendet wird. Im zweiten Fall
liegt die Funktion diff in ihrer Substantivform vor. Dies wird hier
durch den Quote-Operator ' bewirkt. Jetzt wird die Funktion
nicht angewendet. Das Ergebnis ist ein symbolischer Ausdruck für die
Ableitung. Da auch in diesem Fall die Argumente ausgewertet werden, wird auch
hier der Wert 1/2 für die Variable a eingesetzt.
(%i1) a:1/2;
1
(%o1) -
2
(%i2) diff(a*x^2, x);
(%o2) x
(%i3) 'diff(a*x^2, x);
2
d x
(%o3) -- (--)
dx 2
Nicht alle Maxima-Funktionen werten die Argumente aus. Die Dokumentation der Funktionen gibt häufig einen Hinweis darauf, ob die Argumente ausgewertet werden oder nicht.
Beispiel:
Die Funktion properties wertet das Argument nicht aus. Dies ist für
den Nutzer praktisch, da ansonsten die Auswertung einer Variablen a, die
einen Wert hat, explizit mit dem Quote-Operator ' unterdrückt werden
müsste, um die Eigenschaften des Symbols 'a anzuzeigen. Im ersten Fall
ist das Ergebnis eine leere Liste. Das Symbol a hat keine Eigenschaften.
Im zweiten Fall erhält die Variable a einen Wert. Die Funktion
properties wertet ihr Argument nicht aus und a wird nicht durch
den Wert 2 ersetzt. Die Funktion properties zeigt weiterhin die
Eigenschaften des Symbols 'a an.
(%i1) properties(a); (%o1) [] (%i2) a:2$ (%i3) properties(a); (%o3) [value]
Die Auswertung von Symbolen, Funktionen und Ausdrücken kann mit dem
Quote-Operator ' und dem Quote-Quote-Operator
'' kontrolliert werden. Der Quote-Operator unterdrückt die Auswertung.
Dagegen erzwingt der Quote-Quote-Operator die Auswertung.
Mit der Funktion ev wird ein Ausdruck in einer definierten Umgebung
ausgewertet, in der Optionsvariablen für die Auswertung einen bestimmten Wert
erhalten oder Auswertungsschalter evflag und Auswertungsfunktionen
evfun angewendet werden.
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Der Quote-Operator ' unterdrückt die Auswertung eines Symbols oder
Ausdrucks. Auf eine Funktion angewendet, unterdrückt der Quote-Operator die
Auswertung der Funktion. Die Auswertung der Argumente der Funktion wird nicht
unterdrückt. Das Ergebnis ist die Substantivform der Funktion.
Wird der Quote-Operator auf einen eingeklammerten Ausdruck angewendet, wird die
Auswertung aller Symbole und Funktionen innerhalb der Klammern unterdrückt.
'(f(x)) bedeutet, dass der Ausdruck f(x) nicht ausgewertet werden
soll. 'f(x) bedeutet, dass die Substantivform von f auf das
ausgewertete Argument x angewendet wird.
Der Quote-Operator unterdrückt die Auswertung, aber nicht die Vereinfachung von Ausdrücken.
Substantivformen werden mit einem Hochkomma angezeigt, wenn die Optionsvariable
noundisp den Wert true hat.
Siehe auch den Quote-Quote-Operator '' und den
Auswertungsschalter nouns.
Beispiele:
Auf ein Symbol angewendet, unterdrückt der Quote-Operator die Auswertung des Symbols.
(%i1) aa: 1024; (%o1) 1024
(%i2) aa^2; (%o2) 1048576
(%i3) 'aa^2;
2
(%o3) aa
(%i4) ''%;
(%o4) 1048576
Auf eine Funktion angewendet, unterdrückt der Quote-Operator die Auswertung der Funktion. Das Ergebnis ist die Substantivform der Funktion.
(%i1) x0: 5; (%o1) 5 (%i2) x1: 7; (%o2) 7
(%i3) integrate (x^2, x, x0, x1);
218
(%o3) ---
3
(%i4) 'integrate (x^2, x, x0, x1);
7
/
[ 2
(%o4) I x dx
]
/
5
(%i5) %, nouns;
218
(%o5) ---
3
Wird der Quote-Operator auf einen eingeklammerten Ausdruck angewendet, wird die Auswertung aller Symbole und Funktionen innerhalb der Klammern unterdrückt.
(%i1) aa: 1024; (%o1) 1024 (%i2) bb: 19; (%o2) 19 (%i3) sqrt(aa) + bb; (%o3) 51 (%i4) '(sqrt(aa) + bb); (%o4) bb + sqrt(aa) (%i5) ''%; (%o5) 51
Der Quote-Operator unterdrückt nicht die Vereinfachung von Ausdrücken.
(%i1) sin (17 * %pi) + cos (17 * %pi); (%o1) - 1 (%i2) '(sin (17 * %pi) + cos (17 * %pi)); (%o2) - 1
Gleitkommarechnungen sind eine Vereinfachung und keine Auswertung. Daher kann
die Berechnung von sin(1.0) nicht mit dem Quote-Operator unterdrückt
werden.
(%i1) sin(1.0); (%o1) .8414709848078965 (%i2) '(sin(1.0)); (%o2) .8414709848078965
Der Quote-Quote-Operator '' (zwei Hochkommata) modifiziert die
Auswertung von Ausdrücken, die von der Eingabe gelesen werden.
Wird der Quote-Quote-Operator auf einen allgemeinen Ausdruck expr angewendet, wird der Ausdruck expr durch seinen Wert ersetzt.
Wird der Quote-Quote-Operator auf den Operator eines Ausdruckes angewendet, ändert sich der Operator, wenn er in seiner Substantivform vorliegt, in die Verbform.
Der Quote-Quote-Operator wird vom Parser, der die Eingabe liest, sofort angewendet und nicht im eingelesen Ausdruck gespeichert. Daher kann die Auswertung des Quote-Quote-Operators nicht durch einen weiteren Quote-Operator verhindert werden. Der Quote-Quote-Operator führt zur Auswertung von Ausdrücken, deren Auswertung unterdrückt ist. Das ist der Fall für Funktionsdefinitionen, Lambda-Ausdrücke und Ausdrücke, deren Auswertung durch den Quote-Operator verhindert wurde.
Der Quote-Quote-Operator wird von den Befehlen batch und
load erkannt.
Siehe auch den Quote-Operator ' und den Auswertungsschalter
nouns.
Beispiele:
Wird der Quote-Quote-Operator auf einen Ausdruck expr angewendet, wird der Wert von expr in den Ausdruck eingesetzt.
(%i1) expand ((a + b)^3);
3 2 2 3
(%o1) b + 3 a b + 3 a b + a
(%i2) [_, ''_];
3 3 2 2 3
(%o2) [expand((b + a) ), b + 3 a b + 3 a b + a ]
(%i3) [%i1, ''%i1];
3 3 2 2 3
(%o3) [expand((b + a) ), b + 3 a b + 3 a b + a ]
(%i4) [aa : cc, bb : dd, cc : 17, dd : 29];
(%o4) [cc, dd, 17, 29]
(%i5) foo_1 (x) := aa - bb * x;
(%o5) foo_1(x) := aa - bb x
(%i6) foo_1 (10);
(%o6) cc - 10 dd
(%i7) ''%;
(%o7) - 273
(%i8) ''(foo_1 (10));
(%o8) - 273
(%i9) foo_2 (x) := ''aa - ''bb * x; (%o9) foo_2(x) := cc - dd x
(%i10) foo_2 (10); (%o10) - 273 (%i11) [x0 : x1, x1 : x2, x2 : x3]; (%o11) [x1, x2, x3] (%i12) x0; (%o12) x1 (%i13) ''x0; (%o13) x2 (%i14) '' ''x0; (%o14) x3
Wird der Quote-Quote-Operator auf den Operator in einem Ausdruck angewendet, ändert sich der Operator von seiner Substantivform in die Verbform.
(%i1) declare (foo, noun); (%o1) done (%i2) foo (x) := x - 1729; (%o2) ''foo(x) := x - 1729 (%i3) foo (100); (%o3) foo(100) (%i4) ''foo (100); (%o4) - 1629
Der Quote-Quote-Operator wird vom Parser sofort auf den eingelesenen Ausdruck angewendet und ist nicht Teil eines Maxima-Ausdrucks.
(%i1) [aa : bb, cc : dd, bb : 1234, dd : 5678];
(%o1) [bb, dd, 1234, 5678]
(%i2) aa + cc;
(%o2) dd + bb
(%i3) display (_, op (_), args (_));
_ = cc + aa
op(cc + aa) = +
args(cc + aa) = [cc, aa]
(%o3) done
(%i4) ''(aa + cc);
(%o4) 6912
(%i5) display (_, op (_), args (_));
_ = dd + bb
op(dd + bb) = +
args(dd + bb) = [dd, bb]
(%o5) done
Der Quote-Quote-Operator bewirkt die Auswertung von Ausdrücken, deren Auswertung unterdrückt ist wie in Funktionsdefinitionen, Lambda-Ausdrücken und Ausdrücken, auf die der Quote-Operator angewendet wurde.
(%i1) foo_1a (x) := ''(integrate (log (x), x));
(%o1) foo_1a(x) := x log(x) - x
(%i2) foo_1b (x) := integrate (log (x), x);
(%o2) foo_1b(x) := integrate(log(x), x)
(%i3) dispfun (foo_1a, foo_1b);
(%t3) foo_1a(x) := x log(x) - x
(%t4) foo_1b(x) := integrate(log(x), x)
(%o4) [%t3, %t4]
(%i5) integrate (log (x), x);
(%o5) x log(x) - x
(%i6) foo_2a (x) := ''%;
(%o6) foo_2a(x) := x log(x) - x
(%i7) foo_2b (x) := %;
(%o7) foo_2b(x) := %
(%i8) dispfun (foo_2a, foo_2b);
(%t8) foo_2a(x) := x log(x) - x
(%t9) foo_2b(x) := %
(%o9) [%t8, %t9]
(%i10) F : lambda ([u], diff (sin (u), u));
(%o10) lambda([u], diff(sin(u), u))
(%i11) G : lambda ([u], ''(diff (sin (u), u)));
(%o11) lambda([u], cos(u))
(%i12) '(sum (a[k], k, 1, 3) + sum (b[k], k, 1, 3));
(%o12) sum(b , k, 1, 3) + sum(a , k, 1, 3)
k k
(%i13) '(''(sum (a[k], k, 1, 3)) + ''(sum (b[k], k, 1, 3)));
(%o13) b + a + b + a + b + a
3 3 2 2 1 1
Wertet den Ausdruck expr in einer Umgebung aus, die durch die Argumente
arg_1, …, arg_n spezifiziert wird. Die Argumente sind
Optionsvariablen (Boolesche Variablen), Zuweisungen, Gleichungen und Funktionen.
ev gibt das Ergebnis der Auswertung zurück.
Die Auswertung wird in den folgenden Schritten durchgeführt:
simp bewirkt, dass der Ausdruck expr vereinfacht wird. Der Wert
der Optionsvariablen simp wird dabei ignoriert. Der Ausdruck wird also
auch dann vereinfacht, wenn die Optionsvariable simp den Wert false
hat.
noeval unterdrückt die Auswertungphase der Funktion ev (siehe
Schritt (4) unten). Dies ist nützlich im Zusammenhang mit anderen Schaltern
und um einen Ausdruck expr erneuert zu vereinfachen, ohne dass dieser
ausgewertet wird.
nouns bewirkt die Auswertung von Substantivformen. Solche
Substantivformen sind typischerweise nicht ausgewertete Funktionen wie
'integrate oder 'diff, die im Ausdruck expr enthalten sind.
expand bewirkt die Expansion des Ausdruckes expr. Siehe die
Funktion expand.
expand(m, n) bewirkt die Expansion des Ausdruckes expr,
wobei den Optionsvariablen maxposex und maxnegex die Werte der
Argumente m und n zugewiesen werden. Siehe die Funktion
expand.
detout bewirkt, dass bei der Berechnung von Inversen von Matrizen, die im
Ausdruck expr enthalten sind, Determinanten den Matrizen vorangestellt
und nicht elementweise in die Matrize hereinmultipliziert werden.
diff bewirkt, dass alle Ableitungen ausgeführt werden, die im Ausdruck
expr enthalten sind.
derivlist(x, y, z, ...) bewirkt, dass die Ableitungen
bezüglich der angegebenen Variablen x, y, z, …
ausgeführt werden.
risch bewirkt das Integrale im Ausdruck expr mit dem
Risch-Algorithmus berechnet werden. Siehe risch. Wird der Schalter
nouns benutzt, wird der Standardalgorithmus für Integrale verwendet.
float bewirkt, dass rationale Zahlen in Gleitkommazahlen konvertiert
werden.
numer bewirkt, dass mathematische Funktionen mit numerischen Argumenten
ein Ergebnis in Gleitkommazahlen liefern. Variablen in expr, denen
numerische Werte zugewiesen wurden, werden durch diese ersetzt. Der Schalter
float wird zusätzlich wirksam.
pred bewirkt, dass Aussagen zu true oder false ausgewertet
werden.
eval bewirkt eine zusätzliche Auswertung des Ausdrucks expr.
(Siehe Schritt (5) unten). eval kann mehrfach angewendet werden. Jedes
Auftreten von eval führt zu einer weiteren Auswertung.
A, wobei A ein Symbol ist, das als ein Auswertungsschalter
evflag definiert ist. Während der Auswertung des Ausdrucks expr
erhält A den Wert true.
V: expression (oder alternativ V=expression) bewirkt, dass
V während der Auswertung des Ausdrucks expr den Wert
expression erhält. V kann auch eine Optionsvariable sein, die
für die Auswertung den Wert expression erhält. Wenn mehr als ein
Argument der Funktion ev übergeben wird, wird die Zuweisung der Werte
parallel ausgeführt. Wenn V kein Atom ist, wird anstatt einer
Zuweisung eine Substitution ausgeführt.
F, wobei F der Name einer Funktion ist, die als eine
Auswertungsfunktion (siehe evfun) definiert wurde. F bewirkt,
dass die Auswertungsfunktion auf den Ausdruck expr angewendet wird.
sum) bewirkt, dass jedes
Auftreten dieser Funktion im Ausdruck expr ausgewertet wird.
F(x) := expression definiert werden.
ev betrachtet. Dies erlaubt, das eine Liste mit
Gleichungen (zum Beispiel [%t1, %t2], wobei %t1 und %t2
Gleichungen sind) wie sie zum Beispiel von der Funktion solve erzeugt
wird, als Argument verwendet werden kann.
Die Argumente der Funktion ev können in einer beliebigen Reihenfolge
übergeben werden. Ausgenommen sind Gleichungen mit Substitutionen, die
nacheinander von links nach rechts ausgewertet werden, sowie
Auswertungsfunktionen, die verkettet werden. So wird zum Beispiel
ev(expr, ratsimp, realpart) zu
realpart(ratsimp(expr)).
Die Schalter simp, numer, float und
detout sind auch Optionsvariablen, die lokal in einem Block oder global
gesetzt werden können.
Ist expr ein kanonischer rationaler Ausdruck (CRE = canonical rational
expression), ist auch das Ergebnis der Funktion ev ein CRE-Ausdruck,
falls nicht die beiden Schalter float und numer den Wert
true haben.
%i2 im
Beispiel unten oder das letzte Ergebnis %, so wird in diesem Schritt der
globale Wert dieser Marke eingesetzt und die Bearbeitung durch ev
fortgesetzt.
noeval
unter den Argumente ist, und vereinfacht. Die Funktionsaufrufe in expr
werden erst ausgeführt, wenn die enthaltenden Variablen ausgewertet sind.
Dadurch verhält sich ev(F(x)) wie F(ev(x)).
eval in den Argumenten werden die
Schritte (3) und (4) wiederholt.
Anstatt der Anwendung der Funktion ev können alternativ der Ausdruck
und die Argumente durch Kommata getrennt eingegeben werden:
expr, arg_1, ..., arg_n
Diese Kurzschreibweise ist jedoch als Teil eines anderen Ausdrucks, zum Beispiel in Funktionen oder Blöcken nicht gestattet.
Beispiele:
(%i1) sin(x) + cos(y) + (w+1)^2 + 'diff (sin(w), w);
d 2
(%o1) cos(y) + sin(x) + -- (sin(w)) + (w + 1)
dw
(%i2) ev (%, numer, expand, diff, x=2, y=1);
2
(%o2) cos(w) + w + 2 w + 2.449599732693821
Im folgenden Beispiel werden die Zuweisungen parallel durchgeführt. Es wird
die Kurzschreibweise der Funktion ev angewendet.
(%i3) programmode: false; (%o3) false (%i4) x+y, x: a+y, y: 2; (%o4) y + a + 2 (%i5) 2*x - 3*y = 3$ (%i6) -3*x + 2*y = -4$ (%i7) solve ([%o5, %o6]); Solution
1
(%t7) y = - -
5
6
(%t8) x = -
5
(%o8) [[%t7, %t8]]
(%i8) %o6, %o8;
(%o8) - 4 = - 4
(%i9) x + 1/x > gamma (1/2);
1
(%o9) x + - > sqrt(%pi)
x
(%i10) %, numer, x=1/2;
(%o10) 2.5 > 1.772453850905516
(%i11) %, pred;
(%o11) true
Als Argument des Kommandos ev(expr, eval) bewirkt eval eine
zusätzliche Auswertung des Ausdrucks expr.
eval kann mehrfach auftreten. Jedes Auftreten führt zu einer
zusätzlichen Auswertung.
Siehe auch die Funktion ev sowie die Auswertungsschalter
noeval und infeval
Beispiele:
(%i1) [a:b,b:c,c:d,d:e]; (%o1) [b, c, d, e] (%i2) a; (%o2) b (%i3) ev(a); (%o3) c (%i4) ev(a),eval; (%o4) e (%i5) a,eval,eval; (%o5) e
Wenn ein Symbol x die Eigenschaft eines Auswertungsschalters besitzt, sind
die Ausdrücke ev(expr, x) und expr, x
äquivalent zu ev(expr, x = true). Während der Auswertung
von expr erhält also x den Wert true.
Mit declare(x, evflag) wird der Variablen x die
evflag-Eigenschaft gegeben. Siehe auch die Funktion
declare. Mit kill oder remove kann diese Eigenschaft
wieder entfernt werden. Siehe auch properties für die Anzeige von
Eigenschaften.
Folgende Optionsvariablen haben bereits die evflag-Eigenschaft:
algebraic cauchysum demoivre dotscrules %emode %enumer exponentialize exptisolate factorflag float halfangles infeval isolate_wrt_times keepfloat letrat listarith logabs logarc logexpand lognegint m1pbranch numer_pbranch programmode radexpand ratalgdenom ratfac ratmx ratsimpexpons simp simpproduct simpsum sumexpand trigexpand
Beispiele:
(%i1) sin (1/2);
1
(%o1) sin(-)
2
(%i2) sin (1/2), float;
(%o2) 0.479425538604203
(%i3) sin (1/2), float=true;
(%o3) 0.479425538604203
(%i4) simp : false;
(%o4) false
(%i5) 1 + 1;
(%o5) 1 + 1
(%i6) 1 + 1, simp;
(%o6) 2
(%i7) simp : true;
(%o7) true
(%i8) sum (1/k^2, k, 1, inf);
inf
====
\ 1
(%o8) > --
/ 2
==== k
k = 1
(%i9) sum (1/k^2, k, 1, inf), simpsum;
2
%pi
(%o9) ----
6
(%i10) declare (aa, evflag);
(%o10) done
(%i11) if aa = true then YES else NO;
(%o11) NO
(%i12) if aa = true then YES else NO, aa;
(%o12) YES
Wenn eine Funktion F die Eigenschaft evfun besitzt, sind die
Ausdrücke ev(expr, F) und expr, F
äquivalent zu F(ev(expr)).
Zwei oder mehr evfun-Funktionen F, G, … werden in der
aufgeführten Reihenfolge auf den Ausdruck expr angewendet.
Mit declare(F, evfun) wird der Funktion F die
evfun-Eigenschaft gegeben. Siehe auch die Funktion declare.
Mit kill oder remove kann diese Eigenschaft wieder entfernt
werden. Siehe auch properties für die Anzeige von Eigenschaften.
Funktionen, die bereits die evfun-Eigenschaft besitzen, sind:
bfloat factor fullratsimp logcontract polarform radcan ratexpand ratsimp rectform rootscontract trigexpand trigreduce
Beispiele:
(%i1) x^3 - 1;
3
(%o1) x - 1
(%i2) x^3 - 1, factor;
2 (%o2) (x - 1) (x + x + 1)
(%i3) factor (x^3 - 1);
2
(%o3) (x - 1) (x + x + 1)
(%i4) cos(4 * x) / sin(x)^4;
cos(4 x)
(%o4) --------
4
sin (x)
(%i5) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand;
4 2 2 4
sin (x) - 6 cos (x) sin (x) + cos (x)
(%o5) -------------------------------------
4
sin (x)
(%i6) cos(4 * x) / sin(x)^4, trigexpand, ratexpand;
2 4
6 cos (x) cos (x)
(%o6) - --------- + ------- + 1
2 4
sin (x) sin (x)
(%i7) ratexpand (trigexpand (cos(4 * x) / sin(x)^4));
2 4
6 cos (x) cos (x)
(%o7) - --------- + ------- + 1
2 4
sin (x) sin (x)
(%i8) declare ([F, G], evfun);
(%o8) done
(%i9) (aa : bb, bb : cc, cc : dd);
(%o9) dd
(%i10) aa;
(%o10) bb
(%i11) aa, F;
(%o11) F(cc)
(%i12) F (aa);
(%o12) F(bb)
(%i13) F (ev (aa));
(%o13) F(cc)
(%i14) aa, F, G;
(%o14) G(F(cc))
(%i15) G (F (ev (aa)));
(%o15) G(F(cc))
Standardwert: false
infeval bewirkt, dass die Funktion ev die Auswertung eines
Ausdrucks solange wiederholt, bis dieser sich nicht mehr ändert. Um zu
verhindern, dass eine Variable in diesem Modus durch die Auswertung
verschwindet, kann zum Beispiel für eine Variable x der Ausdruck
x='x als Argument von ev einfügt werden. Ausdrücke wie
ev(x, x=x+1, infeval) führen in diesem Modus zu Endlosschleifen.
noeval unterdrückt die Auswertungsphase der Funktion ev.
Der Schalter kann im Zusammenhang mit anderen Auswertungsschaltern genutzt
werden, um einen Ausdruck erneut zu vereinfachen, ohne diesen auszuwerten.
Siehe auch die Optionsvariable infeval und den Auswertungsschalter
eval.
nouns ist ein Auswertungsschalter. Wird dieser Schalter als eine Option
der Funktion ev genutzt, werden alle Substantivformen, die in dem
Ausdruck enthalten sind, in Verbformen umgewandelt und ausgewertet.
Siehe auch die Eigenschaft noun und die Funktionen nounify und
verbify.
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